已知函數(shù)f(x)=-x3+ax2+b(a、b∈R).
(I)若函數(shù)f(x)在x=0,x=4處取得極值,且極小值為-1,求f(x)的解析式;
(II)若x∈[0,1],函數(shù)f(x)圖象上的任意一點的切線斜率為k,當(dāng)k≥-1恒成立時,求實數(shù)a的取值范圍.
分析:(I)通過求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),函數(shù)f(x)在x=0,x=4處取得極值,就是x=0,x=4時導(dǎo)數(shù)為0,求出a,利用極小值為-1,求出b,可得f(x)的解析式;
(II)x∈[0,1],函數(shù)f(x)圖象上的任意一點的切線斜率為k,k≥-1恒成立,就是導(dǎo)函數(shù)的值域大于-1恒成立,再用二次函數(shù)根與系數(shù)的關(guān)系,求實數(shù)a的取值范圍.
解答:解:(I)由f′(x)=-3x
2+2ax得
x=0或x=.∴
=4得a=6.(3分)
當(dāng)x<0,f′(x)<0.當(dāng)0<x<4時,f′(x)>0.
故當(dāng)x=0時,f(x)達(dá)到極小值f(0)=b,∴b=-1.
∴f(x)=-x
3+6x
2-1;(6分)
(II)當(dāng)x∈[0,1]時,
k=f′(x)=-3x
2+2ax≥-1恒成立,
即令g(x)=3x
2-2ax-1≤0
對一切x∈[0,1]恒成立,(9分)
只需
即a≥1.
所以,實數(shù)a的取值范圍為[1,+∞).(12分)
點評:本題考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式,函數(shù)恒成立問題,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,二次函數(shù)根與系數(shù)的關(guān)系,是中檔題.