Question

設(shè)z=x+yi（x，y∈R），i是虛數(shù)單位，滿(mǎn)足4≤z+

64

z

≤10．
（1）求證：y=0時(shí)滿(mǎn)足不等式的復(fù)數(shù)不存在．
（2）求出復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)復(fù)平面上的軌跡．

Answer 1

（1）證明：當(dāng)y=0時(shí)，z=x≠0…（2分）
則4≤x+

64

x

≤10?

x+ 64 x ≥4 x+ 64 x ≤10

?

x2-4x+64 x ≥0 x2-10x+64 x ≤0

…（4分）
由

x2-4x+64

x

≥0，因?yàn)閤²-4x+64＞0，則x＞0
由

x2-10x+64

x

≤0，因?yàn)閤²-10x+64＞0，則x＜0
所以不等式無(wú)解，滿(mǎn)足不等式的復(fù)數(shù)不存在．…（7分）
（2）4≤x+yi+

64(x-yi)

x2+y2

≤10，由題知：z+

64

z

必為實(shí)數(shù)…（9分）
所以：

y- 64y x2+y2 =0 4≤x+ 64x x2+y2 ≤10

?y=0（舍）或x²+y²=64，2≤x≤5…（12分）
所以z所對(duì)應(yīng)的軌跡是以原點(diǎn)為圓心，以8為半徑的圓弧．…（14分）