Question

已知直線y=kx-1與雙曲線x²-y²=1的左支交于不同兩點A、B，若另有一條直線l經過P（-2，0）及線段AB的中點Q．
（1）求k的取值范圍；
（2）求直線l在y軸上的截距b的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由

y=kx-1 x2-y2=1

，得（1-k²）x²+2kx-2=0．再由直線y=kx-1與雙曲線x²-y²=1的左支交于不同兩點A、B，利用根的判別式和韋達定理能求出k的取值范圍．
（2）由直線l經過P（-2，0）及線段AB的中點Q，知直線l的方程為得x-（2k²+k-2）y+2=0，令x=0，解得直線l在y軸上的截距b=

2

2k2+k-2

．設f（k）=2k²+k-2=2（k+

1

4

）²-

17

8

，由此能求出直線l在y軸上的截距b的取值范圍．

解答：（本小題滿分12分）
解：（1）由

y=kx-1 x2-y2=1

，得（1-k²）x²+2kx-2=0．
直線y=kx-1與雙曲線x²-y²=1的左支交于不同兩點A、B，
∴

△=4k2+8(1-k2)＞0 x1+x2= 2k k2-1 ＜0 x1x2= 2 k2-1 ＞0

，解得-

2

＜k＜-1．
∴k的取值范圍是（-

2

，-1）．（6分）
（2）∵直線l經過P（-2，0）及線段AB的中點Q，
設Q（x₀，y₀），∴

x0= k k2-1 y0=kx0-1= 1 k2-1

，
∴直線l的方程為：

y

x+2

=

1 k2-1

k k2-1 +2

，整理，得x-（2k²+k-2）y+2=0，
令x=0，解得直線l在y軸上的截距b=

2

2k2+k-2

．
設f（k）=2k²+k-2=2（k+

1

4

）²-

17

8

，
則f（k）在（-

2

，-1）上是減函數(shù)，
∴f（-1）＜f(k)＜f(-

2

)，且f（k）≠0，
∴-1＜f（k）＜2-

2

，且f（k）≠0，
∴b＜-2，或b＞2+

2

，
故直線l在y軸上的截距b的取值范圍是（-∞，-2）∪（2+

2

，+∞）…12分

點評：本題考查直線的斜率的取值范圍的求法，考查直線縱截距的取值范圍的求法．解題時要認真審題，注意構造法的合理運用．