Question

7．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)F₂（1，0），且經(jīng)過點(diǎn)（1，$\frac{3}{2}$）直線l：x+2y-8=0
（1）求橢圓C的方程；
（2）若P為橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)P到直線l的距離的最小值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）過點(diǎn)E（0，1）的直線m與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A，B，若$\overrightarrow{OM}$=$\frac{1}{4}$（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求點(diǎn)M的軌跡方程．

Answer 1

分析 （1）由橢圓定義求出a，結(jié)合隱含條件求得b，則橢圓方程可求；
（2）設(shè)與直線l：x+2y-8=0平行的直線方程為x+2y+m=0，與橢圓方程聯(lián)立，利用判別式等于0求得m值，得到與已知直線平行且與橢圓相切的直線方程，利用兩平行線間的距離公式求點(diǎn)P到直線l的距離的最小值，進(jìn)一步求得P點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）分類求解，當(dāng)m的斜率不存在時(shí)，求得M（0，0），當(dāng)直線m的斜率存在時(shí)，設(shè)出直線方程的斜截式，與橢圓方程聯(lián)立，結(jié)合$\overrightarrow{OM}$=$\frac{1}{4}$（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$）求出M點(diǎn)的參數(shù)方程，消參后得答案．

解答 解：（1）∵橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)F₂（1，0），
∴左焦點(diǎn)F₁（-1，0），且經(jīng)過點(diǎn)（1，$\frac{3}{2}$），
由橢圓的定義可知：2a=|MF₁|+|MF₂|=$\sqrt{（1+1）^{2}+（\frac{3}{2}）^{2}}+\frac{3}{2}=4$，
∴a=2，又c=1，
∴b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}=\sqrt{3}$，
故橢圓的方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）設(shè)與直線l：x+2y-8=0平行的直線方程為x+2y+m=0，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x+2y+m=0}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，得4x²+2mx+m²-12=0．
由△=4m²-16（m²-12）=0，解得m=±4．
∴當(dāng)m=-4時(shí)，直線x+2y-4=0與直線l：x+2y-8=0平行，且與直線切于第一象限，
此時(shí)切點(diǎn)P到直線l的距離的最小，最小值為$\frac{|-8-（-4）|}{\sqrt{5}}=\frac{4\sqrt{5}}{5}$．
方程4x²+2mx+m²-12=0化為4x²-8x+4=0，解得x=1，代入x+2y-4=0，得y=$\frac{3}{2}$．
∴切點(diǎn)P（1，$\frac{3}{2}$）；
（3）當(dāng)直線m的斜率不存在時(shí)，直線m的方程為x=0，此時(shí)A（$0，-\sqrt{3}$），B（0，$\sqrt{3}$），
$\overrightarrow{OM}$=$\frac{1}{4}$（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$）=$\frac{1}{4}（0，0）=（0，0）$，即M（0，0）；
當(dāng)直線m的斜率存在時(shí)，設(shè)直線m的方程為y=kx+1，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，得（3+4k²）x²+8kx-8=0．
△=64k²+32（3+4k²）＞0
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{8k}{3+4{k}^{2}}$，y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2=$k•（-\frac{8k}{3+4{k}^{2}}）+2=\frac{6}{3+4{k}^{2}}$．
∴$\overrightarrow{OM}$=$\frac{1}{4}$（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$）=$\frac{1}{4}（{x}_{1}+{x}_{2}，{y}_{1}+{y}_{2}）$=$\frac{1}{4}（-\frac{8k}{3+4{k}^{2}}，\frac{6}{3+4{k}^{2}}）=（-\frac{2k}{3+4{k}^{2}}，\frac{3}{2（3+4{k}^{2}）}）$．
設(shè)M（x，y），
則$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{2k}{3+4{k}^{2}}}\\{y=\frac{3}{2（3+4{k}^{2}）}}\end{array}\right.$，消去k得：3x²+4y²-2y=0（y≥0）．
∴點(diǎn)M的軌跡方程為3x²+4y²-2y=0（y≥0）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查軌跡方程的求法，考查了直線與圓錐曲線間的位置關(guān)系及其應(yīng)用，訓(xùn)練了利用參數(shù)法求曲線的軌跡方程，考查計(jì)算能力，是中檔題．