Question

已知x=a、x=b是函數(shù)f（x）=lnx+

1

2

x2-（m+2）x（m∈R）的兩個極值點，若

b

a

≥4．
（Ⅰ）求實數(shù)m的取值范圍；
（Ⅱ）求f（b）-f（a）的最大值．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）先求出函數(shù)的定義域，接著求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由于x=a、x=b是函數(shù)f（x）=lnx+

1

2

x2-（m+2）x（m∈R）的兩個極值點，所以x=a、x=b是f′（x）的2個根，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的特點和

b

a

≥4可判斷a，b是2個正值；
（2）把f（b）-f（a）的表達式求出來，利用導(dǎo)數(shù)求其最大值．

解答： 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），f′(x)=

1

x

+x-(m+2)=

x2-(m+2)x+1

x

．
由題意得：x=a、x=b是方程x²-（m+2）x+1=0的兩個不等正根，且a＜b，
∴

(m+2)2-4＞0 m+2＞0

⇒m＞0且a+b=m+2，ab=1．             …3分
設(shè)t=

b

a

，則t≥4，(m+2)2=(a+b)2=

(a+b)2

ab

=t+

1

t

+2，
易知函數(shù)g(t)=t+

1

t

+2在[1，+∞）上單調(diào)遞增，所以g(t)≥g(4)=

25

4

，所以m≥

1

2

．
故實數(shù)m的取值范圍是[

1

2

，+∞)．                   …6分
（Ⅱ）∵f(b)-f(a)=ln

b

a

+

1

2

(b2-a2)-(m+2)(b-a)，
所以f(b)-f(a)=ln

b

a

+[

1

2

(b2-a2)-(a+b)(b-a)]•

1

ab

=lnt-

1

2

(t-

1

t

)．
構(gòu)造函數(shù)h(t)=lnt-

1

2

(t-

1

t

)（其中t≥4），則h′(t)=

1

t

-

1

2

(1+

1

t2

)=-

(t-1)2

2t2

＜0，
所以函數(shù)h（t）在[4，+∞）上單調(diào)遞減，于是有h(t)≤h(4)=ln4-

15

8

．
故f（b）-f（a）的最大值為ln4-

15

8

．        …13分．

點評：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性、求其最值，屬于中檔題．