Question

設g′（x）是函數g（x）的導函數，且f（x）=g′（x）．現給出以下四個命題：
①若f（x）是奇函數，則g（x）必是偶函數；    
②若f（x）是偶函數，則g（x）必是奇函數；
③若f（x）是周期函數，則g（x）必是周期函數；
④若f（x）是單調函數，則g（x）必是單調函數．
其中正確的命題是

 

．（寫出所有正確命題的序號）

Answer 1

考點：導數的運算

專題：函數的性質及應用

分析：①根據函數奇偶性之間的關系進行判斷結合積分的意義即可得到結論，
②舉個反例即可證明結論錯誤，
③根據函數周期的定義，舉反例即可得到結論，
④根據函數單調性的性質，舉反例即可．

解答： 解：①當f（x）是奇函數時，則f（-x）=-f（x），
即∫0dx=∫[f（-x）+f（x）]dx=∫f（x）dx+∫f（-x）dx═∫f（x）dx-∫f（-x）d（-x）=g（x）-g（-x），
即g（-x）=g（x），∴g（x）數是偶函數．∴①準確．
②當f（x）=0是偶函數，g（x）=3不是奇函數，∴②錯誤；
③若f（x）=1是周期函數，則g（x）=x不是周期函數，∴③錯誤；
④若f（x）=2x，則g（x）=x²，滿足f（x）=g′（x）是單調增函數，但g（x）=x²，不單調，∴④錯誤．
故答案為：①

點評：本題主要考查函數的奇偶性，周期性，單調性與函數導數之間的關系，．