Question

11．如圖，在四面體ABCD中，DA=DB=DC=2，DA⊥DB，DA⊥DC，且DA與平面ABC所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{6}}{3}$，則該四面體外接球半徑R=$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 作DE⊥平面ABC，垂足為E，連接AE，則cos∠DAE=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，證明△ABC是等邊三角形，可得DA，DB，DC兩兩互相垂直，將其擴充為正方體，其對角線長為2$\sqrt{3}$，對角線長等于四面體外接球直徑，即可得出結論．

解答 解：作DE⊥平面ABC，垂足為E，連接AE，則cos∠DAE=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∵四面體ABCD中，DA=DB=DC=2，
∴E是△ABC的外心，AE=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．
∵DA=DB=DC=2，DA⊥DB，DA⊥DC，
∴AC=AB=2$\sqrt{2}$，
∴$\frac{2\sqrt{2}}{sin∠ACB}$=$\frac{4\sqrt{6}}{3}$，∴sin∠ACB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴∠ACB=60°，
∴△ABC是等邊三角形，BC=2$\sqrt{2}$，
∴DB⊥DC，
∴DA，DB，DC兩兩互相垂直，
將其擴充為正方體，其對角線長為2$\sqrt{3}$，對角線長等于四面體外接球直徑，
∴該四面體外接球半徑R=$\sqrt{3}$．
故答案為：$\sqrt{3}$．

點評 本題考查四面體外接球半徑，考查學生的計算能力，確定DA，DB，DC兩兩互相垂直，將其擴充為正方體，其對角線長等于四面體外接球直徑是關鍵．