Question

如下四個函數(shù)：
①f（x）=sinx②f（x）=x²+2x-1③f（x）=-x³+4x+2④f(x)=log

1

2

x
性質(zhì)A：存在不相等的實數(shù)x₁、x₂，使得

f(x1)+f(x2)

2

=f(

x1+x2

2

)
性質(zhì)B：對任意0＜x₂＜x₃＜1，總有f（x₁）＜f（x₂）
以上四個函數(shù)中同時滿足性質(zhì)A和性質(zhì)B的函數(shù)個數(shù)為（　�。�

• A、1個
• B、2個
• C、3個
• D、4個

Answer 1

分析：由于性質(zhì)B，即單調(diào)性的檢驗更易于進(jìn)行，所以先檢驗它們的單調(diào)性，其中函數(shù)f（x）=-x³+4x+2的單調(diào)性需用導(dǎo)數(shù)法判斷；對于性質(zhì)A，可結(jié)合奇函數(shù)的性質(zhì)f（x）+f（-x）=0舉出例證，其中函數(shù)f（x）=x²+2x-1需用反證法思想推出矛盾．則問題解決．

解答：解：（1）由性質(zhì)B：“對任意0＜x₁＜x₂＜1，總有f（x₁）＜f（x₂）”知，函數(shù)f（x）在（0，1）上是增函數(shù)．
①∵f（x）=sinx在[0，

π

2

]上是增函數(shù)，∴f（x）=sinx在（0，1）上是增函數(shù)．
②∵f（x）=x²+2x-1在[-1，+∞）上是增函數(shù)，∴f（x）=x²+2x-1在（0，1）上是增函數(shù)．
③∵f′（x）=-3x²+4，且在（-

2 3

3

，

2 3

3

）上f′（x）＞0，∴f（x）=-x³+4x+2在（-

2 3

3

，

2 3

3

）上是增函數(shù)，∴f（x）=-x³+4x+2在（0，1）上是增函數(shù)．
④∵f(x)=log

1

2

x在（0，+∞）上是減函數(shù)，∴f(x)=log

1

2

x在（0，1）上是減函數(shù)，而不是增函數(shù)．
所以排除④．
（2）性質(zhì)A：存在不相等的實數(shù)x₁、x₂，使得

f(x1)+f(x2)

2

=f(

x1+x2

2

)
①對于f（x）=sinx，令x₁=1，x₂=-1，則

f(x1)+f(x2)

2

=

1

2

（sin1+sin（-1））=0，f（

x1+x2

2

）=f（0）=sin0=0，
∴f（x）=sinx滿足性質(zhì)A．
③對于f（x）=-x³+4x+2，令x₁=1，x₂=-1，則

f(x1)+f(x2)

2

=

1

2

×4=2，f（

x1+x2

2

）=f（0）=2，
∴f（x）=-x³+4x+2滿足性質(zhì)A．
②對于f（x）=x²+2x-1，假設(shè)存在不相等的實數(shù)x₁、x₂，使得

f(x1)+f(x2)

2

=f(

x1+x2

2

)
則有

1

2

（x₁²+2x₁-1+x₂²+2x₂-1）=(

x1+x2

2

)2+（x₁+x₂）-1
化簡得（x₁-x₂）²=0，即x₁=x₂，這與x₁≠x₂矛盾．
∴f（x）=x²+2x-1不滿足性質(zhì)A．
所以只有①③同時滿足性質(zhì)A和性質(zhì)B．
故選B．

點評：本題需要檢驗的方面較多，相對比較麻煩，對學(xué)生的意志力提出了更高的要求；還應(yīng)注意：證明存在性問題成立，只需舉出一個例子即可；但要證明存在性問題不成立，需嚴(yán)格的邏輯推理．