(1)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,求曲線C的方程,并說明它是什么樣的曲線;
(2)試判斷l(xiāng)與曲線C的位置關(guān)系,并加以證明.
解:(1)以AB中點(diǎn)為原點(diǎn),直線AB所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系,則A(-1,0),B(1,0) .
設(shè)M(x,y),由題意:|MP|=|MA|,|BP|=,所以|MB|+|MA|=.
故曲線C是以A、B為焦點(diǎn),長軸長為的橢圓,
其方程為x2+2y2=2.
(2)直線l與曲線C的位置關(guān)系是相切.證明如下:
由(1)知曲線C方程為x2+2y2=2,設(shè)P(m,n),則P在⊙B上,
故(m-1)2+n2=8,即m2+n2=7+2m .
當(dāng)P、A、B共線時,直線l的方程為x=±,顯然結(jié)論成立.
當(dāng)P、A、B不共線時,直線l的方程為y-,
整理得,y=-.
(x-)+=.
把直線l的方程代入曲線C方程得x2+2()2=2.
整理得,[n2+2(m+1)2]x2-4(m+1)·(m+3)x+2(m+3)2-2n2=0.
判別式Δ=[4(m+1)(m+3)]2-4[n2+2(m+1)2] [2(m+3)2-2n2]= -8n2·[(m+3)2-n2-2(m+1)2]
=-8n2[-m2-n2+2m+7]=0,
∴直線l與曲線C相切.
另證:在直線l上任取一點(diǎn)M′,連結(jié)M′A、M′B、MA,
由垂直平分線的性質(zhì)得|M′A|=|M′P|,
∴|M′A|+|M′B|=|M′P|+|M′B|≥|PB|=(當(dāng)且僅當(dāng)M、M′重合時取”=”).
∴直線l與橢圓C有且僅有一個公共點(diǎn)M.
結(jié)論得證.
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