Question

設(shè)兩個向量e₁，e₂，滿足|e₁|＝2，|e₂|＝1，e₁與e₂的夾角為.若向量2te₁＋7e₂與e₁＋te₂的夾角為鈍角，求實數(shù)t的范圍．

Answer 1

－7<t<－且t≠－

【錯解分析】∵2te₁＋7e₂與e₁＋te₂的夾角為鈍角，
∴(2te₁＋7e₂)·(e₁＋te₂)<0，
∴2t²＋15t＋7<0，解之得：－7<t<－，
∴t的范圍為(－7，－)．
【正解】∵2te₁＋7e₂與e₁＋te₂的夾角為鈍角，
∴(2te₁＋7e₂)·(e₁＋te₂)<0且2te₁＋7e₂≠λ(e₁＋te₂)(λ<0)．
∵(2te₁＋7e₂)·(e₁＋te₂)<0得2t²＋15t＋7<0，
∴－7<t<－.
若2te₁＋7e₂＝λ(e₁＋te₂)(λ<0)，
∴(2t－λ) e₁＋(7－tλ) e₂＝0.
∴，即t＝－，
∴t的取值范圍為：－7<t<－且t≠－.
【點評】本題錯誤的關(guān)鍵是沒有把握準向量夾角與向量數(shù)量積的等價關(guān)系.一般地，向量a，b為非零向量，a與b的夾角為θ,則①θ為銳角?a·b>0且a, b不同向；②θ為直角?a·b=0；③θ為鈍角?a·b<0且a·b不反向.
2te₁＋7e₂與e₁＋te₂的夾角為鈍角?(2te₁＋7e₂)·(e₁＋te₂)<0.