Question

6．直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BCA=90°，M、N分別是A₁B₁、A₁C₁的中點，BC=AC=CC₁，則CN與AM所成角的余弦值等于（　�。�

• A． $\frac{2}{5}$
• B． $\frac{\sqrt{30}}{10}$
• C． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{70}}{10}$

Answer 1

分析 以C為原點，CA為x軸，CB為y軸，CC₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出CN與AM所成角的余弦值．

解答 解：以C為原點，CA為x軸，CB為y軸，CC₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)BC=AC=CC₁=2，
則C（0，0，0），N（1，0，2），A（2，0，0），M（1，1，2），
$\overrightarrow{CN}$=（1，0，2），$\overrightarrow{AM}$=（-1，1，2），
設(shè)CN與AM所成角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{CN}•\overrightarrow{AM}|}{|\overrightarrow{CN}|•|\overrightarrow{AM}|}$=$\frac{3}{\sqrt{5}•\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{30}}{10}$．
∴CN與AM所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{30}}{10}$．
故選：B．

點評 本題考查兩直線所成角的余弦值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運用．