Question

已知函數(shù)f（x）=e^x•g（x），其中g(shù)（x）=ax²-2x-2．
（1）若存在x∈R，使得g（x）＞0成立，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）求函數(shù)y=f（|sinx|）的值域．

Answer 1

【答案】分析：（1）先判斷g（x）二次項的系數(shù)，判斷是否為二次函數(shù)，再求函數(shù)的最值求出a，
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值和最值，畫出圖表，便于觀察，求出函數(shù)的極值．
解答：解：（1）存在x∈R，使得g（x）＞0，
即存在x∈R，使得ax²-2x-2＞0，
當(dāng)a＞0時，滿足要求；當(dāng)a=0時，滿足要求；
當(dāng)a＜0時，△＞0，解得
綜上得，（4分）
（2）f（x）=e^x•g（x）=e^x•（ax²-2x-2）
∴f′（x）=（e^x）′•（ax²-2x-2）+e^x•（ax²-2x-2）′
=e^x•（ax²-2x-2）+e^x•（2ax-2）
=e^x•[ax²+（2a-2）x-4]
設(shè)|sinx|=t，（0≤t≤1），則轉(zhuǎn)化為求函數(shù)y=f（t），（0≤t≤1）的值域．
當(dāng)a=0時，f′（x）=-2e^x•（x+2）＜0，此時函數(shù)f（t）在[0，1]上為減函數(shù)，
∴函數(shù)f（t）的值域為[f（1），f（0）]，即[（a-4）e，-2]
當(dāng)a＜0時，
此時函數(shù)f（t）在[0，1]上為減函數(shù)，
∴函數(shù)f（t）的值域為[f（1），f（0）]，即[（a-4）e，-2]（6分）
當(dāng)a＞0時，
令f′（x）=0，解得或x=-2（舍）．
當(dāng)x變化時，f（x）與f′（x）的變化情況如下表：

若，即0＜a≤2時，函數(shù)f（t）在[0，1]上為減函數(shù)．
∴函數(shù)f（t）的值域為[f（1），f（0）]，即[（a-4）e，-2]
若，即a＞2時，函數(shù)f（t）在上遞減，在上遞增
∴函數(shù)f（t）在[0，1]上的最大值為f（0）與f（1）中的較大者
∵f（0）=-2，f（1）=（a-4）e，∴f（1）-f（0）=（a-4）e+2
∴當(dāng)時，f（1）＞f（0），此時y_max=f（1）=（a-4）e；
當(dāng)時，f（1）=f（0），此時y_max=f（0）=f（1）=-2；
當(dāng)時，f（1）＜f（0），此時y_max=f（0）=-2（13分）
綜上，當(dāng)a≤2時，函數(shù)f（|sinx|）的值域為[（a-4）e，-2]；
當(dāng)時，函數(shù)f（|sinx|）的值域為；
當(dāng)時，函數(shù)f（|sinx|）的值域為．（14分）
點評：該題考查函數(shù)的求導(dǎo)，和g（x）是否為二次函數(shù)的判斷，注意在解答過程中不要忘記畫圖，在解答過程中容易忽略判斷二次項的系數(shù)，該地方是易錯點．