Question

已知函數(shù)f(x)=sin2x+2

3

sin2x+1-

3

．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)x∈[

π

6

，

π

2

]時，若f（x）≥log₂t恒成立，求t的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）函數(shù)解析式利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡，整理后利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個角的正弦函數(shù)，找出ω的值，代入周期公式即可求出函數(shù)f（x）的最小正周期，根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性即可確定出f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）由x的范圍求出這個角的范圍，利用正弦函數(shù)的值域確定出f（x）的最小值，根據(jù)f（x）≥log₂t恒成立，得到log₂t小于等于f（x）的最小值，即可確定出t的范圍．

解答：解：（I）f（x）=sin2x-

3

cos2x+1=2sin（2x-

π

3

）+1，
∵ω=2，
∴函數(shù)f（x）最小正周期是T=π；
當(dāng)2kπ-

π

2

≤2x-

π

3

≤2π+

π

2

，k∈Z，
即kπ-

π

12

≤x≤kπ+

5π

12

，k∈Z，
函數(shù)f（x）單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-

π

12

，kπ+

5π

12

]，k∈Z；
（II）∵x∈[

π

6

，

π

2

]，
∴2x-

π

3

∈[0，

2π

3

]，
∴f（x）=2sin（2x-

π

3

）+1的最小值為1，
由f（x）≥log₂t恒成立，得log₂t≤1=log₂2恒成立，
∴0＜t≤2，
即t的取值范圍為（0，2]．

點評：此題考查了兩角和與差的正弦函數(shù)公式，函數(shù)恒成立問題，以及正弦函數(shù)的單調(diào)性，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．