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7.設(shè)S表示所有大于-1的實數(shù)構(gòu)成的集合,確定所有的函數(shù):S→S,滿足以下兩個條件:
(1)對于S內(nèi)的所有x和y,f(x+f(y)+xf(y))=y+f(x)+yf(x);
(2)在區(qū)間-1<x<0與x>0的每一個內(nèi),fxx是嚴(yán)格遞增的.
求滿足上述條件的函數(shù)的方程.

分析 令y=x可得f(x+f(x)+xf(x))=x+f(x)+xf(x),令x+f(x)+xf(x)=c,則f(c)=c,代入(1)可得f(2c+c2)=2c+c2.對c的符號進(jìn)行討論得出c=0即x+f(x)+xf(x)=0,從而得出f(x)的解析式.

解答 解:令y=x得f(x+f(x)+xf(x))=x+f(x)+xf(x),
令x+f(x)+xf(x)=c,則f(c)=c,
帶入(1)得f(2c+c2)=2c+c2.∵2+c>2+(-1)=1,∴2c+c2=c(2+c)與c同號.
若c>0,則2c+c2>c,但f2c+c22c+c2=fcc=1,與fxx在x>0時嚴(yán)格遞增相矛盾,
若c<0,同樣導(dǎo)出矛盾,
∴c=0,從而對一切x∈S有x+f(x)+xf(x)=0,
fx=xx+1

點評 本題考查了抽象函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用,屬于中檔題.

練習(xí)冊系列答案
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