分析 令y=x可得f(x+f(x)+xf(x))=x+f(x)+xf(x),令x+f(x)+xf(x)=c,則f(c)=c,代入(1)可得f(2c+c2)=2c+c2.對c的符號進(jìn)行討論得出c=0即x+f(x)+xf(x)=0,從而得出f(x)的解析式.
解答 解:令y=x得f(x+f(x)+xf(x))=x+f(x)+xf(x),
令x+f(x)+xf(x)=c,則f(c)=c,
帶入(1)得f(2c+c2)=2c+c2.∵2+c>2+(-1)=1,∴2c+c2=c(2+c)與c同號.
若c>0,則2c+c2>c,但f(2c+c2)2c+c2=f(c)c=1,與f(x)x在x>0時嚴(yán)格遞增相矛盾,
若c<0,同樣導(dǎo)出矛盾,
∴c=0,從而對一切x∈S有x+f(x)+xf(x)=0,
∴f(x)=−xx+1.
點評 本題考查了抽象函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用,屬于中檔題.
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A. | (-∞,-\frac{3}{2}]∪[-1,+∞) | B. | (-∞,-\frac{5}{2}]∪[-1,+∞) | C. | [-\frac{5}{2},-\frac{3}{2}] | D. | [-\frac{3}{2},-1] |
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A. | -\frac{3}{2} | B. | -\frac{9}{8} | C. | -\frac{3}{4} | D. | -\frac{1}{2} |
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A. | -\frac{2}{3}π | B. | \frac{π}{3} | C. | \frac{2}{3}π | D. | -\frac{2}{3}π或\frac{π}{3} |
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A. | ![]() | B. | ![]() | C. | ![]() | D. | ![]() |
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