Question

6．證明：1+$\frac{1}{\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{3}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{n}}$＞$\sqrt{n}$（n＞1）．

Answer 1

分析 先證明n=2時，不等式成立，再假設(shè)n=k時，不等式成立，進而證明出n=k+1時，運用不等式的性質(zhì)即可得到不等式也成立，即可得到結(jié)論．

解答 證明：運用數(shù)學(xué)歸納法證明．
（1）當n=2時，左邊=1+$\frac{1}{\sqrt{2}}$，右邊=$\sqrt{2}$，1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$＞$\sqrt{2}$，所以不等式成立；
（2）假設(shè)n=k時不等式成立，即1+$\frac{1}{\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{3}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{k}}$＞$\sqrt{k}$（k≥2，k∈N^*），
那么當n=k+1時，1+$\frac{1}{\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{3}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{k}}$+$\frac{1}{\sqrt{k+1}}$
＞$\sqrt{k}$+$\frac{1}{\sqrt{k+1}}$=$\frac{\sqrt{k（k+1）}+1}{\sqrt{k+1}}$＞$\frac{k+1}{\sqrt{k+1}}$=$\sqrt{k+1}$．
即當n=k+1時，不等式也成立．
由（1）、（2）可知，對于任意n∈N⁺時，原不等式成立．

點評 數(shù)學(xué)歸納法常常用來證明一個與自然數(shù)集N相關(guān)的性質(zhì)，其步驟為：設(shè)P（n）是關(guān)于自然數(shù)n的命題，若1）（奠基） P（n）在n=1時成立；2）（歸納） 在P（k）（k為任意自然數(shù)）成立的假設(shè)下可以推出P（k+1）成立，則P（n）對一切自然數(shù)n都成立，本題考查推理能力，屬于中檔題．