Question

4．已知函數(shù)f（x）=|x-a|
（1）若f（x）≤m的解集為{x|-1≤x≤5}，求實(shí)數(shù)a，m的值；
（2）當(dāng)a=2且0≤t≤2時(shí)，解關(guān)于x的不等式f（x）+t≥f（x+2）．

Answer 1

分析 （1）由f（x）≤m，可得a-m≤x≤a+m．再由f（x）≤m的解集為{x|-1≤x≤5}，可得關(guān)于a，m的方程，由此求得實(shí)數(shù)a，m的值．
（2）當(dāng)a=2時(shí)，關(guān)于x的不等式即|x|-|x-2|≤t ①．令h（t）=|x|-|x-2|=$\left\{\begin{array}{l}{2，x≥2}\\{2x-2，0＜x＜2}\\{-2，x≤0}\end{array}\right.$，可得函數(shù)h（x）的最大值和最小值．分當(dāng)t≥2和0≤t＜2兩種情況，分別求得不等式的解集．

解答 解：（1）由于函數(shù)f（x）=|x-a|，由f（x）≤m可得-m≤x-a≤x+a，即a-m≤x≤a+m．
再由f（x）≤m的解集為{x|-1≤x≤5}，可得 $\left\{\begin{array}{l}{a-m=-1}\\{a+m=5}\end{array}\right.$，解得  $\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{m=3}\end{array}\right.$．
（2）當(dāng)a=2時(shí)，f（x）=|x-2|，關(guān)于x的不等式f（x）+t≥f（x+2），即|x|-|x-2|≤t．
令h（t）=|x|-|x-2|=$\left\{\begin{array}{l}{2，x≥2}\\{2x-2，0＜x＜2}\\{-2，x≤0}\end{array}\right.$，
故函數(shù)h（x）的最大值為2，最小值為-2，不等式即 h（x）≤t．
①當(dāng)t≥2時(shí)，不等式 h（x）≤t恒成立，故原不等式的解集為R．
②當(dāng) 0≤t＜2時(shí)，
（1）若x≤0，則h（x）=-2，h（x）≤t 恒成立，不等式的解集為{x|x≤0}．
（2）若 0＜x＜2，此時(shí)，h（x）=2x-2，不等式即 2x-2≤t，解得 x≤$\frac{t}{2}$+1，即此時(shí)不等式的解集為 {x|0＜x≤$\frac{t}{2}$+1 }．
綜上可得，當(dāng)t≥2時(shí)，不等式的解集為R； ②當(dāng) 0≤t＜2時(shí)，不等式的解集為 {x|x≤$\frac{t}{2}$+1 }．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查絕對(duì)值不等式的解法，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化和分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．