Question

6．設(shè)A=[-1，1]，B=[-2，2]，函數(shù)f（x）=2x²+mx-1，
（1）設(shè)不等式f（x）≤0的解集為C，當(dāng)C⊆（A∩B）時(shí)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）若對(duì)任意x∈R，都有f（1-x）=f（1+x）成立，試求x∈B時(shí)，函數(shù)f（x）的值域；
（3）設(shè)g（x）=2|x-a|-x²-mx（a∈R），求f（x）+g（x）的最小值．

Answer 1

分析 （1）可先求出A∩B=[-1，1]，并求出f（0）=-1，從而根據(jù)f（x）≤0的解集為C，而C⊆（A∩B），這樣即可判斷函數(shù)f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，從而得出$\left\{\begin{array}{l}{f（-1）≥0}\\{f（1）≥0}\end{array}\right.$，這樣便可求出實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）根據(jù)f（1-x）=f（1+x）便可得出f（x）的對(duì)稱軸為x=1，從而可求出m，進(jìn)而得出f（x），配方即可求出f（x）在[-2，2]上的最大、最小值，即得出其值域；
（3）可令h（x）=f（x）+g（x），并去絕對(duì)值號(hào)得出$h（x）=\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+2x-2a-1}&{x≥a}\\{{x}^{2}-2x+2a-1}&{x＜a}\end{array}\right.$，從而可看出需討論a：a≤-1，-1＜a＜1，以及a≥1，對(duì)于每種情況判斷h（x）的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性即可求出每種情況下h（x）的最小值，即求出f（x）+g（x）的最小值．

解答 解：（1）由A=[-1，1]，B=[-2，2]，知：A∩B=[-1，1]；
且二次函數(shù)f（x）的開(kāi)口向上，f（0）=-1；
由題意知不等式f（x）≤0的解集為C，當(dāng)C⊆（A∩B）時(shí)，函數(shù)f（x）必有兩零點(diǎn)，且兩零點(diǎn)均在區(qū)間[-1，1]內(nèi)；
故只需：$\left\{\begin{array}{l}f（{-1}）≥0\\ f（1）≥0\end{array}\right.$，解得-1≤m≤1；
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍為[-1，1]；
（2）對(duì)任意x∈R，都有f（1-x）=f（1+x）成立；
∴函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱；
∴$-\frac{m}{4}=1$，解得m=-4；
∴函數(shù)f（x）=2（x-1）²-3，x∈[-2，2]；
∴x=-2時(shí)，f（x）取最大值15，x=1時(shí)，f（x）取最小值-3；
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間B上的值域?yàn)閇-3，15]；
（3）令h（x）=f（x）+g（x）；
則$h（x）={x^2}+2|{x-a}|-1=\left\{\begin{array}{l}{x^2}+2x-2a-1，x≥a\\{x^2}-2x+2a-1，x≤a\end{array}\right.$；
①當(dāng)a≤-1時(shí)，函數(shù)h（x）在區(qū)間（-∞，-1）是減函數(shù)，（-1，+∞）是增函數(shù)，此時(shí)h（x）_min=h（-1）=-2a-2；
②當(dāng)-1＜a＜1時(shí)，函數(shù)h（x）在區(qū)間（-∞，a）是減函數(shù)，（a，+∞）是增函數(shù)，此時(shí)$h（x）_{min}=h（a）={a}^{2}-1$；
③當(dāng)a≥1時(shí)，函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，1）是減函數(shù)，（1，+∞）是增函數(shù)，此時(shí)h（x）_min=2a-2；
綜上：當(dāng)a≤-1時(shí)，f（x）_min=-2a-2，當(dāng)-1＜a＜1時(shí)$f{（x）_{min}}={a^2}-1$，當(dāng)a≥1時(shí)f（x）_min=2a-2．

點(diǎn)評(píng) 考查交集的運(yùn)算，二次函數(shù)的開(kāi)口方向的判斷，函數(shù)零點(diǎn)的概念，熟悉二次函數(shù)的圖象，由f（a-x）=f（a+x）知f（x）關(guān)于x=a對(duì)稱，配方求二次函數(shù)在閉區(qū)間上最值的方法，含絕對(duì)值函數(shù)的處理方法：去絕對(duì)值號(hào)，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)最小值的方法，以及二次函數(shù)的單調(diào)性．