Question

1．平面直角坐標系xOy中，圓M：（x-2）²+y²=1，曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=3cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$（α為參數(shù)）．在以原點為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標系中，直線l的極坐標方程為θ=$\frac{π}{6}$（ρ∈R）．
（1）求圓M的極坐標方程及曲線C的普通方程；
（2）設(shè)l與圓M相切于點A，且在第三象限內(nèi)與C交于點N，求△AMN的面積．

Answer 1

分析 （1）利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$及其ρ²=x²+y²即可得到⊙M的極坐標方程．利用sin²α+cos²α=1可得曲線C的普通方程．
（2）直線l的極坐標方程為θ=$\frac{π}{6}$（ρ∈R），化為直角坐標方程：y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x．分別與圓的方程、橢圓的方程聯(lián)立可得點A，N的坐標，利用兩點之間的距離可得|AN|，再利用點到直線的距離公式可得：點M（2，0）到直線l的距離d，利用S_△AMN=$\frac{1}{2}$|AN|d即可得出．

解答 解：（1）圓M：（x-2）²+y²=1，展開為：x²+y²-4x+3=0，化為極坐標方程：ρ²-4ρcosθ+3=0．
曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=3cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$（α為參數(shù)），利用sin²α+cos²α=1可得：$\frac{{x}^{2}}{9}+{y}^{2}$=1．
（2）直線l的極坐標方程為θ=$\frac{π}{6}$（ρ∈R），化為直角坐標方程：y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{\sqrt{3}}{3}x}\\{（x-2）^{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，解得A$（\frac{3}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}）$．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{\sqrt{3}}{3}x}\\{\frac{{x}^{2}}{9}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，解得N$（-\frac{3}{2}，-\frac{\sqrt{3}}{2}）$．
∴|AN|=$\sqrt{（-\frac{3}{2}-\frac{3}{2}）^{2}+（-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}}$=$2\sqrt{3}$．
點M（2，0）到直線l的距離d=$\frac{2}{\sqrt{{1}^{2}+（-\sqrt{3}）^{2}}}$=1．
∴S_△AMN=$\frac{1}{2}$|AN|d=$\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×1$=$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了極坐標化為直角坐標方程、直線與圓及其橢圓的位置關(guān)系、兩點之間的距離公式、點到直線的距離公式、三角形面積計算公式，考查了數(shù)形結(jié)合方法、推理能力與計算能力，屬于中檔題．