Question

（本小題滿分16分）已知函數(shù)（a為常數(shù)）.

（Ⅰ）若，寫出的單調(diào)增區(qū)間；

（Ⅱ）若，設(shè)在區(qū)間上的最小值為，求的表達(dá)式；

（Ⅲ）設(shè)，若函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

Answer 1

（Ⅰ）,;（Ⅱ）；（Ⅲ）.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）求出函數(shù)的解析式，畫圖即可求出；（Ⅱ）由 ，有，對(duì)稱軸，討論函數(shù)對(duì)稱軸在、、這三種情況下的最小值；（Ⅲ）確定，函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，需滿足在區(qū)間上任取，且，恒成立，可轉(zhuǎn)化為，對(duì)任意，且恒成立， 分、、，進(jìn)行討論.

試題解析：（1）當(dāng)a=1時(shí)，，畫出其圖象，

易得的增區(qū)間為：和 （寫對(duì)一個(gè)給2分） 4分

（2）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015032306004786418415/SYS201503230600521768139983_DA/SYS201503230600521768139983_DA.005.png">，所以，又

①當(dāng)，即時(shí)，在上遞增，在上遞減

所以 6分

②當(dāng)，即時(shí)，在上遞增，所以 8分

③當(dāng)，即時(shí)，在上遞減，所以 10分

綜上： （沒(méi)有用分段函數(shù)表示的不扣分）

（3），在區(qū)間上任取，且，

則

，（*） 12分

在上是增函數(shù)，，

∴（*）可轉(zhuǎn)化為對(duì)任意，且都成立，

即，

①當(dāng)時(shí)，上式顯然成立 13分

②當(dāng)時(shí)，，由，得，解得 14分

③當(dāng)時(shí)，，，得 15分

所以實(shí)數(shù)的取值范圍是 16分

另【解析】
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，滿足題意； 12分

當(dāng)時(shí)，在上遞增，在上遞減，則有 14分

當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，滿足題意； 15分

當(dāng)時(shí)，在上遞減，在上遞增，則有

綜上， 16分

考點(diǎn)：1、函數(shù)的單調(diào)性；2、函數(shù)的最值；3、函數(shù)知識(shí)的綜合運(yùn)用.