在四棱錐中，平面ABCD，底面ABCD是菱形，，.

（1）求證：平面PAC；

（2）若，求PB與AC所成角的余弦值；

（3）若PA=，求證：平面PBC⊥平面PDC

 

【答案】

（1）由線線平行證得 （2） （3）求得從而證明.

【解析】

試題分析：（1）證：因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形，

所以AC⊥BD.又因?yàn)镻A⊥平面ABCD. 所以PA⊥BD，又AC∩PA=A

所以BD⊥平面PAC.   

（2）解：過(guò)B作BM//AC交DA延長(zhǎng)線于M，連接PM ∠PBM或其補(bǔ)角為所求

因?yàn)锽M//AC AM//BC 所以四邊形MACB為平行四邊形 所以BM=AC=2，PB=PM=,所以

 .

(3) 作BH⊥PC,連接HD

PA⊥平面ABCD,AD="AB" PB=PD,又CD="CB" PC="PC" △PBC≌△PDC

BH⊥PC HD⊥PC 因此∠BHD為二面角B-PC-D的平面角

因?yàn)锳P= BC="2" 有BH=

 所以 面PBC⊥面PDC. 

考點(diǎn)：直線與平面垂直的判定；點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算；用空間向量求直線間的夾角、距離．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查空間線面關(guān)系的垂直關(guān)系的判斷、異面直線所成的角、用空間向量的方法求解直線的

夾角、距離等問(wèn)題，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算

求解能力.

 

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2011年江蘇省普通高中招生考試數(shù)學(xué) 題型：解答題

（本小題滿分14分）如圖，在四棱錐中，平面PAD⊥平面ABCD，
AB=AD，∠BAD=60°，E、F分別是AP、AD的中點(diǎn)
求證：（1）直線EF‖平面PCD；
（2）平面BEF⊥平面PAD

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2011-2012學(xué)年山東省高三下學(xué)期模擬預(yù)測(cè)理科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

在四棱錐中，平面，底面為矩形，.

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求證：；

（Ⅱ）若邊上有且只有一個(gè)點(diǎn)，使得，求此時(shí)二面角的余弦值.

【解析】第一位女利用線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理得到。當(dāng)a=1時(shí)，底面ABCD為正方形，

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070912265168707359/SYS201207091227226245550949_ST.files/image014.png">,………………2分

又，得證。

第二問(wèn)，建立空間直角坐標(biāo)系，則B(1,0,1)D(0,a,0)C(1,a,0)P(0,0,1)……4分

設(shè)BQ=m，則Q(1，m,0)(0《m《a》

要使，只要

所以，即………6分

由此可知時(shí)，存在點(diǎn)Q使得

當(dāng)且僅當(dāng)m=a-m，即m=a/2時(shí)，BC邊上有且只有一個(gè)點(diǎn)Q，使得

由此知道a=2,  設(shè)平面POQ的法向量為

,所以    平面PAD的法向量

則的大小與二面角A-PD-Q的大小相等所以

因此二面角A-PD-Q的余弦值為

解：(Ⅰ)當(dāng)時(shí)，底面ABCD為正方形，

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070912265168707359/SYS201207091227226245550949_ST.files/image014.png">,又………………3分

(Ⅱ) 因?yàn)锳B,AD,AP兩兩垂直，分別以它們所在直線為X軸、Y軸、Z軸建立坐標(biāo)系，如圖所示，

則B(1,0,1)D(0,a,0)C(1,a,0)P(0,0,1)…………4分

設(shè)BQ=m，則Q(1，m,0)(0《m《a》要使，只要

所以，即………6分

由此可知時(shí)，存在點(diǎn)Q使得

當(dāng)且僅當(dāng)m=a-m，即m=a/2時(shí)，BC邊上有且只有一個(gè)點(diǎn)Q，使得由此知道a=2,

設(shè)平面POQ的法向量為

,所以    平面PAD的法向量

則的大小與二面角A-PD-Q的大小相等所以

因此二面角A-PD-Q的余弦值為

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2014屆福建省高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

如圖，在四棱錐中，

平面PAD⊥平面ABCD，AB=AD，∠BAD=60°，E、F分別是AP、AD的中點(diǎn)求證：（1）直線EF//平面PCD；

（2）平面BEF⊥平面PAD

 

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（12分）在四棱錐中，平面PAD⊥平面ABCD，     AB=AD，∠BAD=60°，E、F分別是AP、AD的中點(diǎn)

求證：（1）直線EF∥平面PCD；

（2）平面BEF⊥平面PAD

 

 

 

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如圖，在四棱錐中，平面PAD⊥平面ABCD，AB=AD，∠BAD=60°，E、F分別是AP、AD的中點(diǎn)

求證：（1）直線EF//平面PCD；（2）平面BEF⊥平面PAD

 

 

 

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