Question

已知函數f（x）=k•a^x-a^-x（a＞0，a≠1）為R上的奇函數，且f（1）=

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3

．
（Ⅰ）解不等式：f（x²+2x）+f（x-4）＞0；
（Ⅱ）若當x∈[-1，1]時，b^x+1＞a^2x-1恒成立，求b的取值范圍．

Answer 1

考點：函數恒成立問題,函數奇偶性的性質

專題：函數的性質及應用

分析：（Ⅰ）函數f（x）為R上的奇函數，則f（0）=0與f（1）=

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聯立方程組解出函數的解析式f（x）=3^x-3^-x，然后判斷出函數的單調性，綜合利用奇偶性和單調性去函數符號求解；（Ⅱ）先解出b，然后將恒成立問題轉化為最值問題求解．

解答： 解：由函數f（x）為R上的奇函數，則f（0）=0，得k-1=0，解得k=1，
則f（x）=a^x-a^-x，
又∵f（1）=

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3

，即a-a^-1=

8

3

，解得a=-

1

3

（舍去）或a=3，
∴f（x）=3^x-3^-x，
函數y=3^x和y=-3^-x都是R上的增函數，則f（x）=3^x-3^-x為R上的增函數，
（Ⅰ）不等式f（x²+2x）+f（x-4）＞0
移項得f（x²+2x）＞-f（x-4），
∵函數f（x）=3^x-3^-x在R上為奇函數，
∴f（x²+2x）＞f（4-x），
∵函數f（x）=3^x-3^-x在R上為增函數，
∴x²+2x＞4-x，
解之得x＞1，或x＜-4．
（Ⅱ）由題意得，當x∈[-1，1]時，b^x+1＞3^2x-1恒成立，
即b＞3 

2x-1

x+1

恒成立，
令y=3 

2x-1

x+1

=3 2-

3

x+1

，
由復合函數性質可知x∈[-1，1]時，函數單調遞增，則x=1時，函數取得最大值

3

，
故b的取值范圍是b＞

3

．

點評：本題考察函數的單調性和奇偶性求解不等式，和恒成立問題，解題的難點是在（Ⅱ）中解出b，然后轉化．