用數(shù)學(xué)歸納法證明:
1
2×4
+
1
4×6
+
1
6×8
+…+
1
2n(2n+2)
=
n
4(n+1)
(其中n∈N*).
分析:按數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟.特別注意遞推的步驟要符合假設(shè)的要求.
解答:證明:(1)當(dāng)n=1時(shí),等式左邊=
1
2×4
=
1
8
,等式右邊=
1
4(1+1)
=
1
8
,∴等式成立.
(2)假設(shè)n=k(k≥1.k∈N*)時(shí)等式成立,
1
2×4
+
1
4×6
+
1
6×8
++
1
2k(2k+2)
=
k
4(k+1)
成立,
那么當(dāng)n=k+1時(shí),
1
2×4
+
1
4×6
+
1
6×8
++
1
2k(2k+2)
+
1
2(k+1)[2(k+1)+2]

=
k
4(k+1)
+
1
4(k+1)(k+2)

=
k(k+2)+1
4(k+1)(k+2)

=
(k+1)2
4(k+1)(k+2)

=
k+1
4[(k+1)+1]

即n=k+1時(shí)等式成立.由(1)、(2)可知,對(duì)任意n∈N*等式均成立.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查數(shù)學(xué)歸納法,數(shù)學(xué)歸納法包括兩個(gè)步驟,缺一不可.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

數(shù)列{an}滿足a1=
12
,Sn=n2an(n≥1)

(1)求S1,S2,S3并猜想Sn;
(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明(1)中猜想的正確性.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式1+
1
2
+
1
3
+…+
1
2n-1
n
2
(n∈N*),第二步由k到k+1時(shí)不等式左邊需增加(  )

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2011•南通一模)用數(shù)學(xué)歸納法證明:1×2×3+2×3×4+…+n×(n+1)×(n+2)=
n(n+1)(n+2)(n+3)4
(n∈N*)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

用數(shù)學(xué)歸納法證明:1-
1
2
+
1
3
-
1
4
+…+
1
2n-1
-
1
2n
=
1
n+1
+
1
n+2
+…+
1
2n
,第一步應(yīng)該驗(yàn)證左式是
1-
1
2
1-
1
2
,右式是
1
2
1
2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

用數(shù)學(xué)歸納法證明:1+3+5+…+(2n-1)=n2

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同步練習(xí)冊(cè)答案