如圖,四面體ABCD中,O、E分別為BD、BC的中點(diǎn),CA=CB=CD=BD=2.

(1)求證:AO⊥平面BCD;

(2)求異面直線ABCD所成角的大。

(3)求點(diǎn)E到平面ACD的距離.

思路解析:本題綜合性較強(qiáng)、需利用線面垂直的判定定理證明線面垂直、然后用平移法求異面直線所成的角.

方法一:(1)證明:連結(jié)OC.

BO=DO、AB=AD、∴AOBD.∵BO=DO、BC=CD、∴COBD.

在△AOC中,由已知可得AO=1,CO=.而AC=2,∴AO2+CO2=AC2.

∴∠AOC=90°,即AOOC.∴BDOC=O.∴AO⊥平面BCD.

(2)解:取AC的中點(diǎn)M、連結(jié)OM、MEOE,由EBC的中點(diǎn)知MEAB、OEDC.

∴直線OEEM所成的銳角就是異面直線ABCD所成的角.

在△OME中,EM=AB=,OE=DC=1、

OM是Rt△AOC斜邊AC上的中線.

OM=AC=1.

∴cos∠OEA=.

∴異面直線ABCD所成角的大小為arccos.

(3)解:設(shè)點(diǎn)E到平面ACD的距離為h.

VAACD-VACDE,∴h·SACD=·AO·SCDE.

在△ACD中,CA=CD=2,AD=2,

SACD=

AO=1,SCDE=

h=

∴點(diǎn)E到平面ACD的距離為.

方法二:(1)同方法一.

(2)解:以O為原點(diǎn),如圖建立空間直角坐標(biāo)系,則B(1,0,0),D(-1,0,0),C(0,,0),A(0、0、1)、E(,0)、=(-1、0、1)、=(-1、-、0).

∴cos〈〉=

∴異面直線ABCD所成角的大小為arccos.

(3)解:設(shè)平面ACD的法向量為n=(x、y、z)、則

y=1,得n=(-,1,)是平面ACD的一個(gè)法向量.

=(-,0),

∴點(diǎn)E到平面ACD的距離h=

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,四面體ABCD中,O是BD的中點(diǎn),△ABD和△BCD均為等邊三角形,
AB=2,AC=
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(I)求證:AO⊥平面BCD;
(II)求二面角A-BC-D的大。
(III)求O點(diǎn)到平面ACD的距離.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,四面體ABCD中,O.E分別為BD.BC的中點(diǎn),且CA=CB=CD=BD=2,AB=AD=
2

(1)求證:AO⊥平面BCD;
(2)求 異面直線AB與CD所成角的余弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,四面體ABCD中,0是BD的中點(diǎn),CA=CB=CD=BD=a,AB=AD=
2
2
a

(1)求證:平面AOC⊥平面BCD;
(2)求二面角O-AC-D的余弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,四面體ABCD的各個(gè)面都是直角三角形,已知AB⊥BC,BC⊥CD,AB=a,BC=a,CD=c.
(1)若AC⊥CD,求證:AB⊥BD;
(2)求四面體ABCD的表面積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,四面體ABCD中,O、E分別是BD、BC的中點(diǎn),AO⊥平面BCD,CA=CB=CD=BD=2.
(1)求證:面ABD⊥面AOC;
(2)求異面直線AE與CD所成角的大小.

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