Question

已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足Sn=

1

2

(1-an)(n∈N*)．
（I）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（II）設(shè)f(x)=log

1

3

x，bn=f(a1)+f(a2)+…+f(an)，求數(shù)列{

1

bn

}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)數(shù)列的性質(zhì)S₁=a₁可以求出a₁的值，然后再利用遞推公式相減，從而推出數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，從而求解；
（II）由（I）知a_n的通項(xiàng)公式把a(bǔ)₁到a_n代入log

1

3

a1+log

1

3

a2+…+log

1

3

an，然后再求其倒數(shù)，可以發(fā)現(xiàn)

1

bn

=2（

1

n

-

1

n+1

），從而得其前n項(xiàng)和T_n．

解答：解：（I）由S₁=a₁=

1

2

（1-a₁），得a₁=

1

3

；
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=

1

2

（1-a_n）-

1

2

（1-a_n-1）=

1

2

a_n+

1

2

a_n-1
∴

an

an-1

₌

1

3

_，
∴數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為

1

3

，公比為

1

3

的等比數(shù)列，∴a_n=

1

3

×(

1

3

)n-1=(

1

3

)n：

（II）∵f（x）=log

1

3

x，
∴b_n=log

1

3

a1+log

1

3

a2+…+log

1

3

an=log

1

3

(a1a2…an)=log

1

3

(

1

3

)1+2+…+n=1+2+3+…+n=

n(n+1)

2

∴

1

bn

=

2

n(n-1)

=2（

1

n

-

1

n+1

），
∴T_n=

1

b1

+

1

b2

+…

1

bn

=2[（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）]=

2n

n+1

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查等比數(shù)列的性質(zhì)及其前n項(xiàng)和，第一問比較基礎(chǔ)還是應(yīng)用遞推公式相減，第二問要充分利用第一問的結(jié)論，這一點(diǎn)以后做題時(shí)要注意．