【題目】已知拋物線,直線交此拋物線于不同的兩個點、.
()當直線過點時,證明,為定值.
()當時,直線是否過定點?若過定點,求出定點坐標;反之,請說明理由.
()記,如果直線過點,設線段的中點為,線段的中點為.問是否存在一條直線和一個定點,使得點到它們的距離相等?若存在,求出這條直線和這個定點;若不存在,請說明理由.
【答案】(1)見解析;(2);(3)直線,點
【解析】試題分析:(1)易判斷直線有斜率且不為0,設,代入拋物線方程消掉 得的二次方程,由韋達定理即可證明;
(2)分情況討論:①當直線的斜率存在時,設,其中,代入拋物線方程消掉 得的二次方程,由韋達定理及得的關系式,假設直線過定點,則,用消掉即可得到定點坐標;
②當直線的斜率不存在,設,代入拋物線方程易求,由已知可求得 可判斷此時直線也過該定點;
(3)易判斷直線存在斜率且不為0,由(1)及中點坐標公式可得,代入直線方程得,設,由中點坐標公式可得點軌跡的參數(shù)方程,消掉參數(shù)后即得其普通方程,由方程及拋物線定義可得準線、焦點即為所求;
試題解析:()證明:過點與拋物線有兩個交點,可知其斜率一定存在,
設,其中(若時不合題意),
由得,
∴.
()①當直線的斜率存在時,設,其中(若時不合題意).
由得,
∴,從而.
假設直線過定點,則,
從而,得,即,即或定點.
②當直線的斜率不存在,設,代入得,,
∴,
解得,即,也過.
綜上所述,當時,直線過定點.
()依題意直線的斜率存在且不為零.
由()得,點的縱坐標為,
代入得,即.
設,則,消得,
由拋物線的定義知,存在直線,點,點到它們的距離相等.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】二戰(zhàn)中盟軍為了知道德國“虎式”重型坦克的數(shù)量,采用了兩種方法,一種是傳統(tǒng)的情報竊取,一種是用統(tǒng)計學的方法進行估計,統(tǒng)計學的方法最后被證實比傳統(tǒng)的情報收集更精確,德國人在生產坦克時把坦克從1開始進行了連續(xù)編號,在戰(zhàn)爭期間盟軍把繳獲的“虎式”坦克的編號進行記錄,并計算出這些編號的平均值為675.5,假設繳獲的坦克代表了所有坦克的一個隨機樣本,則利用你所學過的統(tǒng)計知識估計德國共制造“虎式”坦克大約有( )
A.1050輛
B.1350輛
C.1650輛
D.1950輛
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【題目】某某大學藝術專業(yè)400名學生參加某次測評,根據(jù)男女學生人數(shù)比例,使用分層抽樣的方法從中隨機抽取了100名學生,記錄他們的分數(shù),將數(shù)據(jù)分成7組: ,并整理得到如下頻率分布直方圖:
(Ⅰ)從總體的400名學生中隨機抽取一人,估計其分數(shù)小于70的概率;
(Ⅱ)已知樣本中分數(shù)小于40的學生有5人,試估計總體中分數(shù)在區(qū)間[40,50)內的人數(shù);
(Ⅲ)已知樣本中有一半男生的分數(shù)不小于70,且樣本中分數(shù)不小于70的男女生人數(shù)相等.試估計總體中男生和女生人數(shù)的比例.
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【題目】直三棱柱中,,分別是 的中點,,為棱上的點.
(1)證明:;
(2)是否存在一點,使得平面與平面所成銳二面角的余弦值為?若存在,說明點的位置,若不存在,說明理由.
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【題目】對于函數(shù),若,則稱為的“不動點”;若,則稱為的“穩(wěn)定點”.函數(shù)的“不動點”和“穩(wěn)定點”的集合分別記為和,即,.
()設函數(shù),求集合和.
()求證:.
()設函數(shù),且,求證:.
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【題目】在直角坐標系xOy中,以O為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C:ρ2﹣4ρcosθ+1=0,直線l: (t為參數(shù),0≤α<π).
(1)求曲線C的參數(shù)方程;
(2)若直線l與曲線C相切,求直線l的傾斜角及切點坐標.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖1,平面五邊形ABCDE中,AB∥CD,∠BAD=90°,AB=2,CD=1,△ADE是邊長為2的正三角形.現(xiàn)將△ADE沿AD折起,得到四棱錐E﹣ABCD(如圖2),且DE⊥AB.
(Ⅰ)求證:平面ADE⊥平面ABCD;
(Ⅱ)求平面BCE和平面ADE所成銳二面角的大小;
(Ⅲ)在棱AE上是否存在點F,使得DF∥平面BCE?若存在,求 的值;若不存在,請說明理由.
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【題目】已知函數(shù)f(x)= e﹣ax(a>0).
(1)當a=2時,求曲線y=f(x)在x= 處的切線方程;
(2)討論方程f(x)﹣1=0根的個數(shù).
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,正方體ABCD﹣A1B1C1D1中,E、F分別為棱DD1和BC中點G為棱A1B1上任意一點,則直線AE與直線FG所成的角為( )
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
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