Question

設f（x）是定義在R上的增函數(shù)，且對于任意的x都有f（1-x）+f（1+x）=0恒成立．如果實數(shù)m、n滿足不等式組

m＞3 f(m2-6m+23)+f(n2-8n)＜0

，那么m²+n²的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：抽象函數(shù)及其應用

專題：計算題,數(shù)形結(jié)合,函數(shù)的性質(zhì)及應用,直線與圓

分析：由于對于任意的x都有f（1-x）+f（1+x）=0恒成立，則-f（n²-8n）=f（2-n²+8n），則原不等式組可化為f（m²-6m+23）＜f（2-n²+8n），且m＞3，再由單調(diào)性可得（m-3）²+（n-4）²＜4，又m＞3，則原不等式組表示的平面區(qū)域為右半圓內(nèi)的部分，由于m²+n²表示點（m，n）與原點的距離d的平方，通過圖象觀察即可得到取值范圍．

解答： 解：由于對于任意的x都有f（1-x）+f（1+x）=0恒成立，
則-f（n²-8n）=f（2-n²+8n），
即有f（m²-6m+23）+f（n²-8n）＜0，
即為f（m²-6m+23）＜f（2-n²+8n），
由于f（x）是定義在R上的增函數(shù)，
則m²-6m+23＜2-n²+8n，
即有（m-3）²+（n-4）²＜4，
又m＞3，則原不等式組表示的平面區(qū)域為右半圓內(nèi)的部分，
由于m²+n²表示點（m，n）與原點的距離d的平方，
由圖象可得d∈（|OA|，|OB|），
即d∈（

13

，7）．
即有m²+n²的取值范圍是（13，49）．
故答案為：（13，49）．

點評：本題考查抽象函數(shù)及運用，考查函數(shù)的單調(diào)性及應用，考查不等式組表示的平面區(qū)域，考查直線與圓的位置關(guān)系，以及數(shù)形結(jié)合的思想方法，屬于中檔題．