Question

設(shè)函數(shù)f（x）=|2x+1|-|x-1|．
（Ⅰ）畫(huà)出f（x）的圖象，并寫(xiě)出函數(shù)f（x）的值域；
（Ⅱ）若關(guān)于x的不等式f（x）≥a²-3a-4在[0，5]上恒成立，試求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由f（x）=|2x+1|-|x-1|，知f（x）=

-x-5，(x＜- 1 2 ) 3x-3，(- 1 2 ≤ x≤4) x+5，(x＞4)

，由此能夠畫(huà)出f（x）的圖象，并寫(xiě)出函數(shù)f（x）的值域．
（2）當(dāng)x∈[0，4]時(shí)，f（x）=3x-3，f（x）_max=f（4）=12-3=9．當(dāng)x∈（4，5]時(shí)，f（x）=x+5，f（x）_max=f（5）=5+5=10．故當(dāng)x∈[0，5]時(shí)，f（x）_max=10，所以a²-3a-4≤10，由此能求出a的取值范圍．

解答：解：（1）∵f（x）=|2x+1|-|x-1|，
∴f（x）=

-x-5，(x＜- 1 2 ) 3x-3，(- 1 2 ≤ x≤4) x+5，(x＞4)

，
其圖象如圖所示．
如圖可知f（x）_min=f（-0.5）=-（-0.5）-5=-

9

2

．
f（x）_max=+∞，
f（x）的值域是：[-

9

2

，+∞）．
（2）當(dāng)x∈[0，4]時(shí)，f（x）=3x-3是增函數(shù)，
∴f（x）_max=f（4）=12-3=9，
當(dāng)x∈（4，5]時(shí)，f（x）=x+5是增函數(shù)，
∴f（x）_max=f（5）=5+5=10，
∴當(dāng)x∈[0，5]時(shí)，f（x）_max=10，
∵關(guān)于x的不等式f（x）≥a²-3a-4在[0，5]上恒成立，
∴a²-3a-4≤10，
∴

3- 15

2

≤a≤

3+ 15

2

．
故a的取值范圍是[

3- 15

2

，

3+ 15

2

]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)恒成立問(wèn)題，考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．對(duì)數(shù)學(xué)思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強(qiáng)，難度大，是高考的重點(diǎn)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．