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14.已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,P(1,m)是拋物線C上的一點(diǎn),且|PF|=2.
(1)若橢圓Cx24+y2n=1與拋物線C有共同的焦點(diǎn),求橢圓C'的方程;
(2)設(shè)拋物線C與(1)中所求橢圓C'的交點(diǎn)為A、B,求以O(shè)A和OB所在的直線為漸近線,且經(jīng)過(guò)點(diǎn)P的雙曲線方程.

分析 (1)根據(jù)題意,由拋物線的定義可得PF=1+p2=2,即p=2,可得拋物線的方程,結(jié)合題意可得橢圓Cx24+y2n=1中有4-n=1,解可得n的值,代入橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可得答案;
(2)聯(lián)立拋物線、橢圓的方程,消去y得到3x2+16x-12=0,解可得x的值,即可得A、B的坐標(biāo),進(jìn)而可得雙曲線的漸近線方程,由此設(shè)雙曲線方程為6x2-y2=λ(λ≠0),結(jié)合拋物線的幾何性質(zhì)可得λ的值,即可得答案.

解答 解:(1)根據(jù)題意,拋物線C:y2=2px中,P到焦點(diǎn)距離等于P到準(zhǔn)線距離,
所以PF=1+p2=2,p=2
故拋物線的方程為C:y2=4x;
又由橢圓Cx24+y2n=1,可知4-n=1,
即n=3,
故所求橢圓的方程為x24+y23=1
(2)由{x24+y23=1y2=4x,消去y得到3x2+16x-12=0,解得x1=23x2=6(舍去).
所以A23236B23236,則雙曲線的漸近線方程為y=±6x,
由漸近線6x±y=0,可設(shè)雙曲線方程為6x2-y2=λ(λ≠0).
由點(diǎn)P(1,m)在拋物線C:y2=4x上,解得m2=4,P(1,±2),
因?yàn)辄c(diǎn)P在雙曲線上,∴6-4=λ=2,
故所求雙曲線方程為:3x2y22=1

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓、雙曲線的幾何性質(zhì),涉及橢圓、雙曲線以及拋物線的幾何性質(zhì),關(guān)鍵是利用拋物線的性質(zhì)求出拋物線、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

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