已知數(shù)列是首項為，公比的等比數(shù)列.設，，數(shù)列滿足；

（Ⅰ）求證：數(shù)列成等差數(shù)列；

（Ⅱ）求數(shù)列的前項和；

（Ⅲ）若對一切正整數(shù)恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

 

【答案】

（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）或 .

【解析】

試題分析：(Ⅰ) 本小題首先數(shù)列是首項為，公比的等比數(shù)列求得數(shù)列的通項公式，再代入即可求得數(shù)列的通項公式，然后根據(jù)等差數(shù)列的定義來判斷其為等差數(shù)列；

(Ⅱ) 本小題首先求得數(shù)列的通項公式，分析可知對其求和需用錯位相減求和的方法，于是求得該數(shù)列的前項和；

（Ⅲ）本小題首先分析對一切正整數(shù)恒成立，等價于，于是就分析數(shù)列的單調(diào)性，求得其的最大項，代入解不等式即可.

試題解析：（Ⅰ）由已知可得，，

為等差數(shù)列，其中.                        5分

（Ⅱ）

       ①          

  ②

-②得

                                9分

（Ⅲ）

當時，，當時，

，

若對一切正整數(shù)恒成立，則即可

，即或.                    14分

考點：1.等差等比數(shù)列；2.錯位相減求和；3.恒成立問題.

 

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•安徽模擬）如果一個數(shù)列的各項都是實數(shù)，且從第二項起，每一項與它的前一項的平方差是同一個常數(shù)，則稱該數(shù)列為等方差數(shù)列，這個常數(shù)叫這個數(shù)列的公方差．
（Ⅰ）若數(shù)列{an}既是等方差數(shù)列，又是等差數(shù)列，求證：該數(shù)列是常數(shù)列；
（Ⅱ）已知數(shù)列{an}是首項為2，公方差為2的等方差數(shù)列，數(shù)列{bn}的前n項和為Sn，且滿足an2=2n+1bn．若不等式2n•Sn＞m•2n-2an2對?n∈N*恒成立，求m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如果一個數(shù)列的各項都是實數(shù)，且從第二項起，每一項與它的前一項的平方差是同一個常數(shù)，則稱該數(shù)列為等方差數(shù)列，這個常數(shù)叫這個數(shù)列的公方差．

（Ⅰ）若數(shù)列既是等方差數(shù)列，又是等差數(shù)列，求證：該數(shù)列是常數(shù)列；

（Ⅱ）已知數(shù)列是首項為，公方差為的等方差數(shù)列，數(shù)列的前項和為，且滿足．若不等式對恒成立，求的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源：2012-2013學年湖北省荊州市公安縣三中高三（上）元月考數(shù)學試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

如果一個數(shù)列的各項都是實數(shù)，且從第二項起，每一項與它的前一項的平方差是同一個常數(shù)，則稱該數(shù)列為等方差數(shù)列，這個常數(shù)叫這個數(shù)列的公方差．
（Ⅰ）若數(shù)列{an}既是等方差數(shù)列，又是等差數(shù)列，求證：該數(shù)列是常數(shù)列；
（Ⅱ）已知數(shù)列{an}是首項為2，公方差為2的等方差數(shù)列，數(shù)列{bn}的前n項和為Sn，且滿足．若不等式對?n∈N*恒成立，求m的取值范圍．

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