Question

【題目】已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≤0時，f（x）=x（2+x）．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）畫出函數(shù)f（x）的圖象，并寫出單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

【答案】
（1）解：設(shè)x＞0，則﹣x＜0，

∵當(dāng)x≤0時，f（x）=x（2+x），

∴f（﹣x）=﹣x（2﹣x）．

又f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，即f（﹣x）=﹣f（x），

∴當(dāng)x＞0時，f（x）=x（2﹣x）．

故函數(shù)f（x）的解析式為

（2）解：

函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[﹣1，1]，單調(diào)遞減區(qū)間為（﹣∞，﹣1）和（1，+∞）．

【解析】（1）當(dāng)x＞0，則﹣x＜0，由已知表達式可求得f（﹣x），由奇函數(shù)的性質(zhì)可得f（x）與f（﹣x）的關(guān)系，從而可求出f（x）；（2）根據(jù)函數(shù)的解析式，得出函數(shù)f（x）的圖象，從而寫出單調(diào)區(qū)間．
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用函數(shù)奇偶性的性質(zhì)的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握在公共定義域內(nèi)，偶函數(shù)的加減乘除仍為偶函數(shù)；奇函數(shù)的加減仍為奇函數(shù)；奇數(shù)個奇函數(shù)的乘除認為奇函數(shù)；偶數(shù)個奇函數(shù)的乘除為偶函數(shù)；一奇一偶的乘積是奇函數(shù);復(fù)合函數(shù)的奇偶性：一個為偶就為偶，兩個為奇才為奇．