Question

3．已知圓C：x²+（y-1）²=5，直線(xiàn)l：mx-y+1-m=0
（1）求證：對(duì)任意m∈R直線(xiàn)l與圓C總有兩個(gè)交點(diǎn)A，B；
（2）若定點(diǎn)P（1，1）分弦AB為$|AP|=\frac{1}{2}|PB|$，求此直線(xiàn)l的方程．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)直線(xiàn)l的方程可得直線(xiàn)經(jīng)過(guò)定點(diǎn)H（1，1），而點(diǎn)H到圓心C（0，1）的距離為1，小于半徑，
故點(diǎn)H在圓的內(nèi)部，故直線(xiàn)l與圓C相交，命題得證．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由$|AP|=\frac{1}{2}|PB|$，得$1-{x_1}=\frac{1}{2}（{x_2}-1）$，將直線(xiàn)與圓的方程聯(lián)立得：（1+m²）x²-2m²x+m²-5=0，利用韋達(dá)定理得出結(jié)論．

解答 （1）證明：由于直線(xiàn)l的方程是mx-y+1-m=0，即y-1=m（x-1），
直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)（1，1），且這個(gè)點(diǎn)在圓內(nèi)，故直線(xiàn)L與圓C總有兩個(gè)不同的交點(diǎn)．
（2）解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由$|AP|=\frac{1}{2}|PB|$，得$1-{x_1}=\frac{1}{2}（{x_2}-1）$，
即x₂=3-2x₁…①．
將直線(xiàn)與圓的方程聯(lián)立得：（1+m²）x²-2m²x+m²-5=0，
∴x₁+x₂=$\frac{2{m}^{2}}{1+{m}^{2}}$ …②，${x_1}{x_2}=\frac{{{m^2}-5}}{{1+{m^2}}}$…③
①②聯(lián)立可得x₁=$\frac{3+{m}^{2}}{1+{m}^{2}}$，${x_2}=\frac{{{m^2}-3}}{{1+{m^2}}}$代入③得m=±1，
所以直線(xiàn)方程為x-y=0或x+y-2=0．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查直線(xiàn)和圓的位置關(guān)系的判定，直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，求直線(xiàn)方程，屬于中檔題．