Question

設函數(shù)f（x）=

1

3

x³-mx²+（m²-4）x，x∈R．
（1）當m=3時，求曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程；
（2）已知關于x的方程f（x）=0有三個互不相等的實根0，α，β（α＜β），求實數(shù)m的取值范圍；
（3）在（2）條件下，若對任意的x∈[α，β]，都有f（x）≥-

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3

恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)導數(shù)的幾何意義求出函數(shù)f（x）在x=2處的導數(shù)，從而求出切線的斜率，再用點斜式寫出切線方程，化成一般式即可；
（2）由題意，等價于方程

1

3

x²-mx+（m²-4）=0有兩個不相等的實數(shù)根，從而其判別式大于0，可以求出實數(shù)m的取值范圍；
（3）恒成立問題轉(zhuǎn)化為區(qū)間最小值≥-

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3

即可．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=

1

3

x3-mx2+(m2-4)x，x∈R．
∴f′（x）=x²-2mx+m²-4
當m=3時，f′（2）=-3，f（2）=

2

3

所以所求的直線方程為9x+3y-20=0．
（2）∵函數(shù)f（x）=

1

3

x3-mx2+(m2-4)x=x[

1

3

x2-mx+(m2-4)]
若關于x的方程f（x）=0有三個互不相等的實根0，α，β
則△=m²-

4

3

(m2-4)＞0，
解得：-4＜0＜4
故滿足條件的實數(shù)m的取值范圍為（-4，4）

（3）∵f'（x）=x²-2mx+m²-4=[x-（m-2）][x-（m+2）]，
f（x）在（-∞，m-2）上遞增，在（m-2，m+2）遞減，在（m+2，+∞）遞增，
f（x）_極大值=f（m-2）=

1

3

（m-2）³-m（m-2）²+（m²-4）（m-2）＞0，
f（x）_極小值=f（m+2）=

1

3

（m+2）³-m（m+2）²+（m²-4）（m+2）＜0，
得-4＜m0且m²-4≠0，得-4＜m＜4，m≠±2．
若m+2＜0，即m∈（-4，-2），當x∈[α，β]時，f（x）_min=0，
∴當m∈（-4，-2）時，f（x）≥-

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3

恒成立．
若m-2＜0＜m+2，即m∈（-2，2）要使當x∈[α，β]時，f（x）≥-

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3

恒成立，即f（x）_min=f（m+2）≥-

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3

．
f（m+2）=

1

3

（m+2）³-m（m+2）²+（m²-4）（m+2）≥-

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3

，得m（m²-12）≥0
∵m∈（-2，2）∴m²-12＜0，∴m≤0，∴當-2＜m≤0時，f（x）≥-

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3

恒成立．
若0＜m-2，即m∈（2，4），要使當x∈[α，β]時，f（x）≥-

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3

恒成立，
即f（x）_min=f（m+2）≥-

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3

，f（m+2）=

1

3

（m+2）³-m（m+2）²+（m²-4）（m+2）≥-

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3

得m（m²-12）≥0∵m∈（2，4）
∴2

3

≤m＜4
綜上得：m的取值范圍是（-4，-2）∪(-2，0]∪[2

3

，4)．

點評：本題考查了導數(shù)的幾何意義及恒成立問題的處理策略，解題時，弄清題意，合理運用恒成立問題的處理策略是關鍵