(2011•寧德模擬)已知橢圓E:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的焦點(diǎn)為F1,F(xiàn)2,離心率為
2
2
,直線l:x+2y-2=0與x軸,y軸分別交于點(diǎn)A,B.
(Ⅰ)若點(diǎn)A是橢圓E的一個(gè)頂點(diǎn),求橢圓E的方程;
(Ⅱ)若線段AB上存在點(diǎn)P滿足|PF1+PF2|=2a,求a的取值范圍.
分析:(Ⅰ)因?yàn)橹本l:x+2y-2=0與x軸,y軸分別交于點(diǎn)A,B,可求出A,B點(diǎn)坐標(biāo),再根據(jù)點(diǎn)A是橢圓E的一個(gè)頂點(diǎn),求出a=2,
根據(jù)(Ⅱ橢圓的離心率為
2
2
,求出c值,再根據(jù)a,b,c的關(guān)系求出b的值,得到橢圓E的方程.
(Ⅱ)因?yàn)榫段AB上存在點(diǎn)P滿足|PF1+PF2|=2a,則P為線段AB與橢圓的一個(gè)交點(diǎn),也即線段E與橢圓E有公共點(diǎn).所以若聯(lián)立方程,則方程組有解,可通過判斷方程組何時(shí)在[0,2]上有解來求a的范圍.
解答:解:解法一:(Ⅰ)由橢圓的離心率為a=
2
b
,故a=
2
b
,
由A(2,0),得,∴b=
2
,
所以所求的橢圓方程為
x2
4
+
y2
2
=1

(Ⅱ)由e=
2
2
,可設(shè)橢圓方程為
x2
2b2
+
y2
b2
=1
,
聯(lián)立
x2
2b2
+
y2
b2
=1
x+2y-2=0
3
2
x2-2x+2-2b2=0

已知線段E上存在點(diǎn)E滿足E,即線段E與橢圓E有公共點(diǎn),
等價(jià)于方程
3
2
x2-2x+2-2b2=0
在x∈[0,2]上有解.
a2=2b2=
3
2
x2-2x+2=
3
2
(x-
2
3
)2+
4
3
,
由x∈[0,2],故
4
3
a2≤4
,
故所求的a的取值范圍是
2
3
3
≤a≤2
點(diǎn)評(píng):本題考查了橢圓方程的求法,以及直線與橢圓關(guān)系的判斷,做題時(shí)要認(rèn)真分析,避免出錯(cuò).
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sinAsinC
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a4a3
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8-
3
8-
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