Question

6．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{|x-2|+|x+5|-m}$的定義域?yàn)镽．
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（Ⅱ）若m=4，解不等式f（x）＞2．

Answer 1

分析 （Ⅰ）把函數(shù)f（x）=$\sqrt{|x-2|+|x+5|-m}$的定義域?yàn)镽轉(zhuǎn)化為對(duì)任意實(shí)數(shù)x，有|x-2|+|x+5|-m≥0恒成立，然后利用絕對(duì)值的幾何意義求得|x-2|+|x+5|的最小值得答案；
（Ⅱ）把m值代入不等式，化為絕對(duì)值的不等式后再由絕對(duì)值的幾何意義求解．

解答 解：（Ⅰ）∵函數(shù)f（x）=$\sqrt{|x-2|+|x+5|-m}$的定義域?yàn)镽，
∴對(duì)任意實(shí)數(shù)x，有|x-2|+|x+5|-m≥0恒成立，
即m≤|x-2|+|x+5|恒成立，
由|x-2|+|x+5|的幾何意義，即數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)x與兩定點(diǎn)2、-5的距離之和得：

（|x-2|+|x+5|）_min=7，
∴m≤7；
（Ⅱ）當(dāng)m=4時(shí)，f（x）=$\sqrt{|x-2|+|x+5|-4}$，
由f（x）＞2，得$\sqrt{|x-2|+|x+5|-4}$＞2，
即|x-2|+|x+5|＞8，
結(jié)合|x-2|+|x+5|的幾何意義，可得x$＜-\frac{11}{2}$或x$＞\frac{5}{2}$，
∴不等式f（x）＞2的解集為（-∞，$-\frac{11}{2}$）∪（$\frac{5}{2}，+∞$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的定義域及其求法，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，訓(xùn)練了絕對(duì)值的幾何意義的用法，是中檔題．