已知函數(shù)f(x)=
x
1+x
.設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1=f(an)(n∈N+).
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)已知數(shù)列{bn}滿足b1=
1
2
,bn+1=(1+bn)2f(bn)(n∈N+),求證:對(duì)一切正整數(shù)n≥1都有
1
a1+b1
+
1
2a2+b2
+…+
1
nan+bn
<2.
分析:(1)由f(x)=
x
1+x
,an+1=f(an)(n∈N+)知:an+1=
an
an+1
,由此能求出an=
1
n

(2)由bn+1=(1+bn2
bn
1+bn
,知bn+1=bn(bn+1),故
1
nan+bn
=
1
bn
-
1
bn+1
,由此利用裂項(xiàng)求法能夠證明對(duì)一切正整數(shù)n≥1都有
1
a1+b1
+
1
2a2+b2
+…+
1
nan+bn
<2.
解答:(1)解:∵f(x)=
x
1+x
,an+1=f(an)(n∈N+),
an+1=
an
an+1
,…1分
1
an+1
=
an+1
an
,…..3分
1
an+1
-
1
an
=1,…5分
∴{
1
an
}是以
1
a1
為首項(xiàng),1為公差的等差數(shù)列,
1
an
=1+(n-1)×1=n

an=
1
n
.…6分
(2)證明:由已知得bn+1=(1+bn2
bn
1+bn
,
∴bn+1=bn(bn+1),顯然bn∈(0,+∞),…7分
1
nan+bn
=
1
1+bn
=
bn
bn+1
=
bn2 
bnbn+1
=
bn+1-bn
bnbn+1
=
1
bn
-
1
bn+1
,…9分
1
a1+b1
+
1
2a2+b2
+…+
1
nan+bn

=(
1
b1
-
1
b2
)+(
1
b2
-
1
b3
)+…+(
1
bn
-
1
bn+1

=
1
b1
-
1
bn+1

=2-
1
bn+1
<2.…11分
所以,對(duì)一切正整數(shù)n≥1都有
1
a1+b1
+
1
2a2+b2
+…+
1
nan+bn
<2.…12分
點(diǎn)評(píng):本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法和不等式的證明,解題時(shí)要認(rèn)真審題,仔細(xì)解答,注意裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=x-2m2+m+3(m∈Z)為偶函數(shù),且f(3)<f(5).
(1)求m的值,并確定f(x)的解析式;
(2)若g(x)=loga[f(x)-ax](a>0且a≠1),是否存在實(shí)數(shù)a,使g(x)在區(qū)間[2,3]上的最大值為2,若存在,請(qǐng)求出a的值,若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2011•上海模擬)已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當(dāng)a=1,b=2時(shí),求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對(duì)任意0<a<b恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(3)設(shè)k、c>0,當(dāng)a=k2,b=(k+c)2時(shí),記f(x)=f1(x);當(dāng)a=(k+c)2,b=(k+2c)2時(shí),記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:浙江省東陽(yáng)中學(xué)高三10月階段性考試數(shù)學(xué)理科試題 題型:022

已知函數(shù)f(x)的圖像在[a,b]上連續(xù)不斷,f1(x)=min{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a,b]),f2(x)=max{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a,b]),其中,min{f(x)|x∈D}表示函數(shù)f(x)在D上的最小值,max{f(x)|x∈D}表示函數(shù)f(x)在D上的最大值,若存在最小正整數(shù)k,使得f2(x)-f1(x)≤k(x-a)對(duì)任意的x∈[a,b]成立,則稱函數(shù)f(x)為[a,b]上的“k階收縮函數(shù)”.已知函數(shù)f(x)=x2,x∈[-1,4]為[-1,4]上的“k階收縮函數(shù)”,則k的值是_________.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:上海模擬 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當(dāng)a=1,b=2時(shí),求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對(duì)任意0<a<b恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(3)設(shè)k、c>0,當(dāng)a=k2,b=(k+c)2時(shí),記f(x)=f1(x);當(dāng)a=(k+c)2,b=(k+2c)2時(shí),記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2009-2010學(xué)年河南省許昌市長(zhǎng)葛三高高三第七次考試數(shù)學(xué)試卷(理科)(解析版) 題型:選擇題

已知函數(shù)f(x)、g(x),下列說(shuō)法正確的是( )
A.f(x)是奇函數(shù),g(x)是奇函數(shù),則f(x)+g(x)是奇函數(shù)
B.f(x)是偶函數(shù),g(x)是偶函數(shù),則f(x)+g(x)是偶函數(shù)
C.f(x)是奇函數(shù),g(x)是偶函數(shù),則f(x)+g(x)一定是奇函數(shù)或偶函數(shù)
D.f(x)是奇函數(shù),g(x)是偶函數(shù),則f(x)+g(x)可以是奇函數(shù)或偶函數(shù)

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