(2012•瀘州一模)甲、乙、丙三個(gè)同學(xué)同時(shí)報(bào)名參加某重點(diǎn)高校2012年自主招生,高考前自主招生的程序?yàn)槊嬖嚭臀幕瘻y(cè)試,只有面試通過后才能參加文化測(cè)試,文化測(cè)試合格者即獲得自主招生入選資格.因?yàn)榧、乙、丙三人各有?yōu)勢(shì),甲、乙、丙三人面試通過的概率分別為0.5,0.6,0.4;面試通過后,甲、乙、丙三人文化測(cè)試合格的概率分別為0.6,0.5,0.75.
(Ⅰ)求甲、乙、丙三人中只有一人通過面試的概率;
(Ⅱ)求甲、乙、丙三人各自獲得自主招生入選資格的概率.
(Ⅲ)求甲、乙、丙三人中獲得自主招生入選資格的人數(shù)為ξ,求隨機(jī)變量ξ的分布列及期望.
分析:(Ⅰ)由題意知本題是一個(gè)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率,甲、乙、丙三人中只有一人通過包括三種情況,這三種情況是互斥的,根據(jù)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率寫出每一種情況發(fā)生的概率,得到結(jié)果.
(Ⅱ)根據(jù)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率公式,可求甲、乙、丙三人各自獲得自主招生入選資格的概率;
(Ⅲ)甲、乙、丙三人中獲得自主招生入選資格的人數(shù)為ξ,ξ的可能取值是0,1,2,3,結(jié)合變量對(duì)應(yīng)的事件和相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率,寫出變量的分布列和期望.
解答:解:(Ⅰ)由題意知,甲、乙、丙三人中只有一人通過包括三種情況,這三種情況是互斥的,
分別記甲、乙、丙通過審核為事件A1,A2,A3,則
P=P(A1
.
A2
.
A3
)+P(
.
A1
•A2
.
A3
)+P(
.
A1
.
A2
•A3)=0.5×0.4×0.6+0.5×0.6×0.6+0.5×0.4×0.4=0.38
(Ⅱ)∵甲、乙、丙三人面試通過的概率分別為0.5,0.6,0.4;面試通過后,甲、乙、丙三人文化測(cè)試合格的概率分別為0.6,0.5,0.75,
∴甲獲得自主招生入選資格的概率為0.5×0.6=0.3;
乙獲得自主招生入選資格的概率為0.6×0.5=0.3
丙獲得自主招生入選資格的概率為0.4×0.75=0.3
(Ⅲ)甲、乙、丙三人中獲得自主招生入選資格的人數(shù)為ξ,ξ的可能取值是0,1,2,3,
P(ξ=0)=(1-0.3)3=0.343;P(ξ=1)=3×(1-0.3)2×0.3=0.441;P(ξ=2)=3×0.32×0.7=0.189
P(ξ=3)=0.33=0.027
∴ξ的分布列是
 ξ 0  1  2  3
 P  0.343  0.441  0.189  0.027
∴E(ξ)=1×0.441+2×0.189+3×0.027=0.9
點(diǎn)評(píng):本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望,考查互斥事件的概率,考查相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率,考查利用概率知識(shí)解決實(shí)際問題的能力,屬于中檔題.
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