Question

【題目】對于定義在區(qū)間D上的函數(shù)，若存在正整數(shù)k，使不等式恒成立，則稱為型函數(shù).

（1）設(shè)函數(shù)，定義域.若是型函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（2）設(shè)函數(shù)，定義域.判斷是否為型函數(shù)，并給出證明.

（參考數(shù)據(jù)：）

Answer 1

【答案】（1）（2）是型函數(shù)；證明見解析

【解析】

（1）由是型函數(shù),得到在上恒成立,再由的取值范圍為,能求出a的取值范圍.（2）是型函數(shù).證明如下：①先證明.方法1：記,.由,在上為減函數(shù),求出成立.方法2：記,.,,得, ,推導(dǎo)出.

解:（1）因?yàn)?/span>是型函數(shù),

所以在上恒成立,

又的取值范圍為,所以

所以a的取值范圍為.

（2）是型函數(shù).證明如下：①先證明.

方法1：記,.

所以,

所以在上為減函數(shù),

所以,所以.

即,所以成立.

方法2：記,.

記,則,

令,所以,

當(dāng)時(shí),；當(dāng)時(shí),,

所以在上為減函數(shù),在上為增函數(shù).

又,,.

又的圖象連續(xù)不間斷,

所以在上存在唯一零點(diǎn),

且當(dāng)時(shí),；當(dāng)時(shí),；

所以在上為減函數(shù),在上為增函數(shù),

所以,

又,所以,

所以得證.