Question

已知函數(shù)f（x²-1）=log_m

x2

2-x2

（1）求f（x）的解析式并判斷f（x）的奇偶性；
（2）解關(guān)于x的不等式f（x）≥0．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的判斷,指、對(duì)數(shù)不等式的解法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用換元法以及函數(shù)奇偶性的定義即可求f（x）的解析式并判斷f（x）的奇偶性；
（2）利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可解不等式f（x）≥0．

解答： 解：（1）設(shè)x²-1=t（t≥-1），則x²=t+1，f(t)=logm

1+t

1-t

，t∈(-1，1)，
∴f(x)=logm

1+x

1-x

，x∈(-1，1)…（3分）
設(shè)x∈（-1，1），則-x∈（-1，1），
∴f(-x)=logm

1+(-x)

1-(-x)

=-logm

1+x

1-x

=-f(x)，
∴f（x）為奇函數(shù)…（6分）
（2）由logm

1+x

1-x

≥0(*)可知
當(dāng)m＞1時(shí)，（*）可化為

1+x

1-x

≥1，化簡(jiǎn)得：

x

x-1

≤0，解得：0≤x＜1；…（9分）
當(dāng)0＜m＜1時(shí)，（*）可化為0＜

1+x

1-x

≤1，
此不等式等價(jià)于不等式組

1+x 1-x ≤1 1+x 1-x ＞0

，
解此不等式組得

x＞1或x≤0 -1＜x＜1

，∴-1＜x≤0…（13分）
∴當(dāng)m＞1時(shí)，不等式組的解集為{x|0≤x＜1}
當(dāng)0＜m＜1時(shí)，不等式組的解集為{x|-1＜x≤0}…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)解析式的求解以及函數(shù)奇偶性的判斷，根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．