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13.已知橢圓Cx2a2+y2b2=1ab0經(jīng)過點 6545,其離心率為32,設A,B,M是橢圓C上的三點,且滿足 \overrightarrow{OM}=cosα•\overrightarrow{OA}+sinα•\overrightarrow{OB}(α∈(0,\frac{π}{2})),其
中O為坐標原點.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)證明:△OAB的面積是一個常數(shù).

分析 (1)運用橢圓的離心率公式和點滿足橢圓方程,解得a=2,b=1,可得橢圓方程;
(2)設A(x1,y1),B(x2,y2),M(m,n),可得x12+4y12=4,x22+4y22=4,m2+4n2=4,由向量的坐標表示,求得m,n,再平方相加,可得x1x2+4y1y2=0,再由橢圓的參數(shù)方程,結合兩角差的正弦和余弦公式,化簡整理,即可得到常數(shù)1.

解答 解:(1)由題意可得e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2},
將點 (\frac{6}{5},\frac{4}{5})代入橢圓方程,可得\frac{36}{25{a}^{2}}+\frac{16}{25^{2}}=1,
又a2-b2=c2,
解得a=2,b=1,
即有橢圓的方程為\frac{{x}^{2}}{4}+y2=1;
(2)證明:設A(x1,y1),B(x2,y2),M(m,n),
可得x12+4y12=4,x22+4y22=4,m2+4n2=4,
\overrightarrow{OM}=cosα•\overrightarrow{OA}+sinα•\overrightarrow{OB}(α∈(0,\frac{π}{2})),
可得(m,n)=cosα•(x1,y1)+sinα•(x2,y2),
即有m=cosα•x1+sinα•x2,
n=cosα•y1+sinα•y2,
可得m2+4n2=cos2α(x12+4y12)+sin2α(x22+4y22)+2cosαsinα(x1x2+4y1y2
=4cos2α+4sin2α+sin2α(x1x2+4y1y2),
即有sin2α(x1x2+4y1y2)=0,由α∈(0,\frac{π}{2}),可得
x1x2+4y1y2=0,
又S△ABO=\frac{1}{2}|OA|•|OB|sin∠AOB=\frac{1}{2}\sqrt{|OA{|}^{2}•|OB{|}^{2}-(|OA|•|OB|cos∠AOB)^{2}}
=\frac{1}{2}\sqrt{({{x}_{1}}^{2}+{{y}_{1}}^{2})({{x}_{2}}^{2}+{{y}_{2}}^{2})-({x}_{1}{x}_{2}+{y}_{1}{y}_{2})^{2}}=\frac{1}{2}|x1y2-x2y1|,
由x1=2cosβ,y1=sinβ,x2=2cosγ,y2=sinγ,
x1x2+4y1y2=0,即為4(cosβcosγ+sinβsinγ)=0,
即cos(β-γ)=0,
又S△ABO=\frac{1}{2}|x1y2-x2y1|=\frac{1}{2}|2cosβsinγ-2cosγsinβ|=|sin(β-γ)|=1.
則△OAB的面積是一個常數(shù)1.

點評 本題考查橢圓的方程的求法,注意運用離心率公式和點滿足橢圓方程,考查三角形的面積為常數(shù),注意點在橢圓上滿足橢圓方程,以及平方相加,同時結合橢圓的參數(shù)方程和三角形的面積公式,考查運算能力,屬于中檔題.

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(2)是否存在圓心在原點的圓,使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點P,Q,且\overrightarrow{OP}⊥\overrightarrow{OQ}?若存在,求出該圓的方程,并求|PQ|的最大值;若不存在,請說明理由.

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