Question

1．在直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），直線l參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=-\sqrt{3}t}\\{y=\frac{2\sqrt{3}}{3}+t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，
（1）求直線l和圓C的極坐標(biāo)方程；
（2）設(shè)l與曲線C交于點(diǎn)A和B兩點(diǎn)，求劣弧$\widehat{AB}$與弦AB所圍成的面積．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用代入法和平方相加，結(jié)合x=ρcosθ，y=ρsinθ，化簡整理，即可得到所求直線l和圓C的極坐標(biāo)方程；
（2）將圓C的極坐標(biāo)方程代入直線的極坐標(biāo)方程，求得θ=0或$\frac{2π}{3}$，由扇形和三角形的面積公式，計(jì)算即可得到所求面積．

解答 解：（1）直線l參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=-\sqrt{3}t}\\{y=\frac{2\sqrt{3}}{3}+t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），
消去t，可得x=-$\sqrt{3}$（y-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$），
化簡可得直線l的直角坐標(biāo)方程為x+$\sqrt{3}$y-2=0，
由x=ρcosθ，y=ρsinθ，即有ρcosθ+$\sqrt{3}$ρsinθ-2=0，
可得2ρcos（θ-$\frac{π}{3}$）=2，即為ρcos（θ-$\frac{π}{3}$）=1；
圓C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），
由sin²θ+cos²θ=1，可得圓C的直角坐標(biāo)方程為x²+y²=4．
由x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得ρ²cos²θ+ρ²sin²θ=4，
即為圓C：ρ=2；
（2）聯(lián)立直線和圓C的極坐標(biāo)方程，
將ρ=2代入直線ρcos（θ-$\frac{π}{3}$）=1，
可得cos（θ-$\frac{π}{3}$）=$\frac{1}{2}$，
則θ-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{3}$或-$\frac{π}{3}$，
即θ=0或$\frac{2π}{3}$，
可得∠AOB=$\frac{2π}{3}$，
S_扇形AOB=$\frac{1}{2}$•$\frac{2π}{3}$•2²=$\frac{4π}{3}$，
S_△AOB=$\frac{1}{2}$•2²•sin$\frac{2π}{3}$=$\sqrt{3}$，
則劣弧$\widehat{AB}$與弦AB所圍成的面積為$\frac{4π}{3}$-$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評 本題考查極坐標(biāo)方程和參數(shù)方程、直角坐標(biāo)方程的互化，注意運(yùn)用代入法和極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系，考查直線和圓的位置關(guān)系，考查扇形和三角形的面積，屬于中檔題．