Question

甲、乙兩隊(duì)各3名同學(xué)參加世博知識(shí)競賽，每人回答一個(gè)問題，答對(duì)得1分，答錯(cuò)得0分．假設(shè)甲隊(duì)每人答對(duì)的概率均為，乙隊(duì)中3人答對(duì)的概率分別為，，．且每個(gè)人回答正確與否互不影響，用ξ表示甲隊(duì)的總分．
（1）求ξ的分布列及期望；
（2）記事件A“甲乙兩隊(duì)總分之和等于3”，事件B“甲隊(duì)總分大于乙隊(duì)總分”，求P（AB）．

Answer 1

解：（1）甲隊(duì)中的3人答題可看做3次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)．
事件A：甲隊(duì)一人答題答對(duì)，
則P（A）=，
又答對(duì)得1分，答錯(cuò)得0分，
∴甲隊(duì)的總分ξ～（3，），
∴P（ξ=0）=，P（ξ=1）==，
P（ξ=2）=，P（ξ=3）=．
∴分布列為

∴Eξ=3×=2；
（2）事件AB：甲乙兩隊(duì)得分之和為3分，且甲隊(duì)得分大于乙隊(duì)得分，
所以，事件AB包括甲隊(duì)得3分，乙隊(duì)得0分；甲隊(duì)得2分，乙隊(duì)得1分，
∵乙隊(duì)中3人答對(duì)的概率分別為，，，∴乙隊(duì)中3人答錯(cuò)的概率分別為．
∴P（AB）=+×[××+××+]
=．
所以，P（AB）=．
分析：（1）甲隊(duì)中的3名同學(xué)各自獨(dú)立的回答一個(gè)問題，且答對(duì)的概率均為，所以可以理解為進(jìn)行3次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，3名同學(xué)答題得分的所有可能為0、1、2、3，利用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式求出ξ分別是0、1、2、3時(shí)的概率，則ξ的分布列可求，數(shù)學(xué)期望可直接利用二項(xiàng)分布的期望公式求解；
（2）事件A“甲乙兩隊(duì)總分之和等于3”，事件B“甲隊(duì)總分大于乙隊(duì)總分”，則事件AB所包含的情況為：“甲隊(duì)得3分，乙隊(duì)得0分”；“甲隊(duì)得2分，乙隊(duì)得1分”，兩類情況為互斥事件，每一類的概率可用相互獨(dú)立事件的概率求解．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)恰有k次發(fā)生的概率，訓(xùn)練了離散型隨機(jī)變量的分布列的求解，考查了二項(xiàng)分布的期望公式，考查了互斥事件的概率等于概率和，練習(xí)相互獨(dú)立事件的概率的求法，是中檔題．