Question

設(shè)a＜0，函數(shù)f（x）=

1+x

+

1-x

，g（x）=a

1-x2

．
（Ⅰ）求函數(shù)y=f²（x）的值域；
（Ⅱ）記函數(shù)h（x）=f（x）+g（x）的最大值為H（a）．
（�。┣驢（a）的表達(dá)式；
（ⅱ）試求滿足H（a）=H（

1

a

）的所有實(shí)數(shù)a．

Answer 1

考點(diǎn)：根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷,函數(shù)的值域,函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（I）利用根式的意義求出函數(shù)λ（x）的定義域，再根據(jù)單調(diào)性即可得出值域；
（II）（�。├�用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值，通過(guò)對(duì)a分類討論即可得出；
（ⅱ）由（�。┛傻�H(

1

a

)=

2+ 1 a ，a＞0 2 ，a＜0

．再對(duì)a分類討論即可得出．

解答： 解：（Ⅰ）要使函數(shù)有意義，則

1+x≥0 1-x≥0

，即

x≥-1 x≤1

，
則-1≤x≤1，
則y=f²（x）=1+x+1-x+2

1-x2

=2+2

1-x2

，
∵-1≤x≤1，
∴0≤

1-x2

≤1，
則2≤2+2

1-x2

≤4，即函數(shù)y=f²（x）的值域是[2，4]．
（II）函數(shù)h（x）=

1+x

+

1-x

+a

1-x2

，（-1≤x≤1）．
（i）當(dāng)-1＜x＜1時(shí)，h′（x）=

1

2 1+x

-

1

2 1-x

-

ax

1-x2

=

-ax

1-x2

，
①當(dāng)a＞0時(shí)，當(dāng)0＜x＜1時(shí)，h′（x）＜0，函數(shù)h（x）單調(diào)遞減；
當(dāng)-1＜x＜0時(shí)，h′（x）＞0，函數(shù)h（x）單調(diào)遞增．
∴當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)h（x）取得最大值，h（0）=2+a．
②當(dāng)a＜0時(shí)，當(dāng)0＜x＜1時(shí)，h′（x）＞0，函數(shù)h（x）單調(diào)遞增；
當(dāng)-1＜x＜0時(shí)，h′（x）＜0，函數(shù)h（x）單調(diào)遞減．
又函數(shù)h（x）在x=±1時(shí)連續(xù)，而h（-1）=h（1）=

2

，
此時(shí)函數(shù)h（x）取得最大值，h（1）=

2

．
③當(dāng)a=0時(shí)，由（I）可得：h（x）的值域?yàn)閇

2

，2]，
可知函數(shù)h（x）的最大值為2．
綜上可得：函數(shù)h（x）的最大值H（a）=

2+a，a＞0 2，a=0 2 ，a＜0

．
（ⅱ）由（ⅰ）可得H(

1

a

)=

2+ 1 a ，a＞0 2 ，a＜0

．
當(dāng)a＜0時(shí)，H(a)=H(

1

a

)都成立，因此a＜0滿足條件．
當(dāng)a＞0時(shí)，由2+a=2+

1

a

，解得a=1．
綜上可得：滿足H（a）=H（

1

a

）的所有實(shí)數(shù)a的集合為{a|a＜0}∪{1}．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、根式函數(shù)的性質(zhì)，考查了分類討論的思想方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．