Question

4．在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側面A₁ACC₁⊥底面ABC，M為CC₁的中點，∠ABC=90°，AC=A₁A，∠A₁AC=60°，AB=BC=2．
（Ⅰ）求證：BA₁=BM；
（Ⅱ）求三棱錐C₁-A₁B₁M的體積．

Answer 1

分析 （I）取AC的中點D，連接BD，DM，AC₁，A₁D，A₁C，由題意可得△ABC是等腰直角三角形，四邊形ACC₁A₁是菱形，利用菱形和等邊三角形的性質可得A₁D=DM，由面面垂直的性質可得BD⊥A₁D，BD⊥DM，于是△A₁DB≌Rt△MDB，于是BA₁=BM；
（II）根據等腰直角三角形的性質計算BD，以△A₁C₁M為棱錐的底面，則棱錐的高與BD相等．代入棱錐的體積公式計算．

解答 （Ⅰ）證明：取AC的中點D，連接BD，DM，AC₁，A₁D，A₁C
∵AB=BC，∴BD⊥AC．
∵側面A₁ACC₁⊥底面ABC，A₁ACC₁∩平面ABC=AC，BD?平面ABC，
∴BD⊥平面A₁ACC₁，∵A₁D?平面A₁ACC₁，DM?A₁ACC₁，
∴BD⊥A₁D，BD⊥DM．
∵D，M是AC，CC₁的中點，∴DM=$\frac{1}{2}A{C}_{1}$，
∵AC=AA₁，∠A₁AC=60°，∴四邊形AA₁C₁C是菱形，△A₁AC為等邊三角形，
∴A₁D=$\frac{1}{2}A{C}_{1}$=DM，
∴Rt△A₁DB≌Rt△MDB．
∴BA₁=BM．
（Ⅱ）解：∵AB=BC=2，∠ABC=90°，∴AC=2$\sqrt{2}$，∴BD=AD=$\frac{1}{2}$AC=$\sqrt{2}$．
∴A₁D=$\sqrt{A{{A}_{1}}^{2}-A{D}^{2}}$=$\sqrt{6}$．MC₁=$\frac{1}{2}C{C}_{1}$=$\sqrt{2}$．
S${\;}_{△{A}_{1}M{C}_{1}}$=$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{6}$=$\sqrt{3}$．
∵BB₁∥平面AA₁C₁C，∴點B₁到平面AA₁C₁C的距離h=BD=$\sqrt{2}$，
∴V${\;}_{{C}_{1}-{A}_{1}{B}_{1}M}$=V${\;}_{{B}_{1}-{A}_{1}M{C}_{1}}$=$\frac{1}{3}{S}_{△{A}_{1}M{C}_{1}}•h$=$\frac{1}{3}×\sqrt{3}×\sqrt{2}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

點評 本題考查了棱柱的結構特征，棱錐的體積計算，屬于中檔題．