Question

已知數(shù)列{a_n}，a₁=1，a_n=2a_n-1+2^-n（n≥2）．
（1）設(shè)（n≥1），求證：{b_n}是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

解：（1）依題意，?n≥1，，
是非零常數(shù)，所以{b_n}是等比數(shù)列；
（2）由（1）得，?n≥1時(shí)，
從而
=
=，
∴，
左式取n=0得，
所以?n≥1有，
所以，
=．
分析：（1）由題意數(shù)列{a_n}，a₁=1，a_n=2a_n-1+2^-n（n≥2），對(duì)此式子變形，利用（n≥1），借助等比數(shù)列的定義即可求得；
（2）有（1）得，?n≥1時(shí)，從而可以求得，進(jìn)而求得a_n+1，再有通項(xiàng)公式可以求得此數(shù)列的前n項(xiàng)的和．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了構(gòu)造新數(shù)列，還考查了等比數(shù)列的定義及已知數(shù)列的通項(xiàng)公式分析通項(xiàng)的特點(diǎn)選擇分組求和及等比數(shù)列的求和公式．