Question

若△ABC的三邊長分別為a，b，c，且a⁴+b⁴=c⁴，則△ABC的形狀為

1. A.
   直角三角形
2. B.
   鈍角三角形
3. C.
   銳角三角形
4. D.
   不能確定

Answer 1

C
分析：由題意可得 （a²+b²）²-c⁴ =2a²b²＞0，△ABC中，由余弦定理可得 cosC=＞0，故角C 為銳角，再根據c邊為最大邊，故角C 為△ABC的最大角，從而得出結論．
解答：∵△ABC的三邊長分別為a，b，c，且a⁴+b⁴=c⁴，∴（a²+b²）²=a⁴+b⁴ +2a²b²=c⁴+2a²b²．
∴（a²+b²）²-c⁴ =2a²b²＞0．
又 （a²+b²）²-c⁴ =（a²+b²+c²） （a²+b²-c²），∴（a²+b²-c²）＞0．
△ABC中，由余弦定理可得 cosC=＞0，故角C 為銳角．
再由題意可得，c邊為最大邊，故角C 為△ABC的最大角，∴△ABC是銳角三角形，
故選：C．
點評：本題主要考查余弦定理的應用，以及三角形中大邊對大角，求得 cosC=＞0，是解題的關鍵．