Question

【題目】已知函數(shù)．

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；

（Ⅱ）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（Ⅲ）令，若對(duì)任意的，，恒有成立，求實(shí)數(shù)k的最大整數(shù)．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）函數(shù)有極小值1，無(wú)極大值；

（Ⅱ）分類討論，詳見(jiàn)解析；（Ⅲ）7．

【解析】

（Ⅰ）對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)性判斷其單調(diào)性，結(jié)合極值的定義進(jìn)行求解即可；

（Ⅱ）對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)性分類討論判斷其單調(diào)性即可；

（Ⅲ）根據(jù)（Ⅱ）求出函數(shù)在時(shí)的最小值，結(jié)合任意性的定義，

問(wèn)題對(duì)任意的，，恒有成立可以轉(zhuǎn)化為，

然后進(jìn)行常變量分離，構(gòu)造新函數(shù)，對(duì)新函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，結(jié)合新函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可.

（Ⅰ）因?yàn)?/span>，所以，函數(shù)的定義域?yàn)?/span>.

，

當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，

當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，

所以函數(shù)有極小值，其值為，

函數(shù)沒(méi)有極大值.

即函數(shù)有極小值1，無(wú)極大值；

（Ⅱ）函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，．

（1）當(dāng)時(shí)， ，在上單調(diào)遞增．

（2）當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞減，

，，單調(diào)遞增．

綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，，單調(diào)遞增；

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，

恒成立，則只需恒成立，

則，

，

令，則只需，

則，

，，單調(diào)遞減，

，，單調(diào)遞增，

，

即，，

的最大整數(shù)為7．