Question

14．已知函數(shù)f（x）=2sin（ωx+φ-$\frac{π}{6}$）+1（0＜φ＜π，ω＞0）為偶函數(shù)，且f（x）圖象的兩對(duì)稱軸間的距離為$\frac{π}{3}$．
（1）求f（$\frac{π}{6}$）的值；
（2）求函數(shù)f（x）的對(duì)稱軸方程和對(duì)稱中心；
（3）當(dāng)x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]求函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）由條件利用誘導(dǎo)公式、正弦函數(shù)的奇偶性、周期性，求得φ和ω的值，可得函數(shù)的解析式，從而求得f（$\frac{π}{6}$）的值．
（2）由條件利用余弦函數(shù)的圖象的對(duì)稱性，求得函數(shù)f（x）的對(duì)稱軸方程和對(duì)稱中心．
（3）由x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]，利用余弦函數(shù)的定義域和值域，求得函數(shù)f（x）的值域．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=2sin（ωx+φ-$\frac{π}{6}$）+1（0＜φ＜π，ω＞0）為偶函數(shù)，
∴φ-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，φ=$\frac{2π}{3}$．
由f（x）圖象的兩對(duì)稱軸間的距離為$\frac{π}{3}$，可得$\frac{1}{2}$•$\frac{2π}{ω}$=$\frac{π}{3}$，求得ω=3，
故f（x）=2sin（3x+$\frac{π}{2}$）+1=2cos3x+1．
∴f（$\frac{π}{6}$）=2cos$\frac{π}{2}$+1=1．
（2）令3x=kπ，求得x=$\frac{kπ}{3}$，k∈Z，故函數(shù)f（x）的對(duì)稱軸方程為x=$\frac{kπ}{3}$，k∈Z；
令3x=kπ+$\frac{π}{2}$，求得x=$\frac{kπ}{3}$+$\frac{π}{6}$，k∈Z，故函數(shù)f（x）的對(duì)稱中心為（$\frac{kπ}{3}$+$\frac{π}{6}$，0），k∈Z．
（3）當(dāng)x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]，3x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{2}$]，∴cos3x∈[-1，1]，
∴f（x）=2cos3x+1∈[-1，3]，故函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇-1，3]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查正弦函數(shù)的奇偶性、周期性，余弦函數(shù)的圖象的對(duì)稱性，余弦函數(shù)的定義域和值域，屬于基礎(chǔ)題．