Question

設(shè)數(shù)列{a_n}是公差為d的等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為S_n．
（1）已知a₁=1，d=2，
（�。┣螽�(dāng)n∈N^*時(shí)，

Sn+64

n

的最小值；
（ⅱ）當(dāng)n∈N^*時(shí)，求證：

2

S1S3

+

3

S2S4

+…+

n+1

SnSn+2

＜

5

16

；
（2）是否存在實(shí)數(shù)a₁，使得對(duì)任意正整數(shù)n，關(guān)于m的不等式a_m≥n的最小正整數(shù)解為3n-2？若存在，則求a₁的取值范圍；若不存在，則說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）（�。┫壤�用等差數(shù)列的求和公式得出Sn，再結(jié)合基本不等式求得

Sn+64

n

的最小值即可；
（ⅱ）由（ⅰ）知S_n=n²，當(dāng)n∈N^*時(shí)，由于

n+1

SnSn+2

=

n+1

n2(n+2)2

=

1

4

[

1

n2

-

1

(n+2)2

]利用裂項(xiàng)求和的方法化簡(jiǎn)所證不等式的左邊，最后進(jìn)行放縮即得所要證不等式．
（2）對(duì)于存在性問(wèn)題，可先假設(shè)存在，即存在實(shí)數(shù)a₁，使得對(duì)任意正整數(shù)n，關(guān)于m的不等式a_m≥n的最小正整數(shù)解為3n-2，再利用不等關(guān)系求得d和實(shí)數(shù)a₁的范圍，若出現(xiàn)矛盾，則說(shuō)明假設(shè)不成立，即不存在；否則存在．

解答：解：（1）（�。┙猓骸遖₁=1，d=2，
∴Sn=na1+

n(n-1)d

2

=n2，

Sn+64

n

=n+

64

n

≥2

n× 64 n

=16，
當(dāng)且僅當(dāng)n=

64

n

，即n=8時(shí)，上式取等號(hào)．故

Sn+64

n

的最小值是16．（4分）
（ⅱ）證明：由（ⅰ）知S_n=n²，當(dāng)n∈N^*時(shí)，

n+1

SnSn+2

=

n+1

n2(n+2)2

=

1

4

[

1

n2

-

1

(n+2)2

]，（6分）

2

S1S3

+

3

S2S4

+…+

n+1

SnSn+2

=

1

4

(

1

12

-

1

32

)+

1

4

(

1

22

-

1

42

)+…+

1

4

[

1

n2

-

1

(n+2)2

]=

1

4

(

1

12

+

1

22

+…+

1

n2

)-

1

4

[

1

32

+

1

52

+…+

1

(n+1)2

+

1

(n+2)2

]=

1

4

[

1

12

+

1

22

-

1

(n+1)2

-

1

(n+2)2

]，（8分）
∵

1

(n+1)2

+

1

(n+2)2

＞0，∴

2

S1S3

+

3

S2S4

+…+

n+1

SnSn+2

＜

1

4

(

1

12

+

1

22

)＜

5

16

．（9分）
（2）假設(shè)對(duì)?n∈N^*，關(guān)于m的不等式a_m=a₁+（m-1）d≥n的最小正整數(shù)解為c_n=3n-2，
當(dāng)n=1時(shí)，a₁+（c₁-1）d=a₁≥1；（10分）
當(dāng)n≥2時(shí)，恒有

a1+(cn-1)d≥n a1+(cn-2)d＜n

，即

(3d-1)n+(a1-3d)≥0 (3d-1)n+(a1-4d)＜0

，
從而

3d-1≥0 (3d-1)×2+(a1-3d)≥0 3d-1≤0 (3d-1)×2+(a1-4d)＜0

?d=

1

3

，1≤a1＜

4

3

．（12分）
當(dāng)d=

1

3

，1≤a1＜

4

3

時(shí)，對(duì)?n∈N^*，且n≥2時(shí)，當(dāng)正整數(shù)m＜c_n時(shí)，
有a1+

m-1

3

＜a1+

cn-1

3

且a1+

cn-1

3

＞n．（13分）
所以存在這樣的實(shí)數(shù)a₁符合題意且a₁的取值范圍是[1，

4

3

)．

點(diǎn)評(píng)：此題是個(gè)難題．考查根據(jù)數(shù)列的遞推公式利用構(gòu)造法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，及數(shù)列的求和問(wèn)題，題目綜合性強(qiáng)，特別是問(wèn)題（2）的設(shè)置，數(shù)列與不等式恒成立問(wèn)題結(jié)合起來(lái)，能有效考查學(xué)生的邏輯思維能力和靈活應(yīng)用知識(shí)分析解決問(wèn)題的能力，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想和分類討論的思想．