Question

設(shè)函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn),且.

(1)求實(shí)數(shù)的取值范圍；

(2)討論函數(shù)的單調(diào)性；

(3)若對(duì)任意的,都有成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

(1)

(2) ①當(dāng)時(shí),,即在區(qū)間上單調(diào)遞增；

②當(dāng)時(shí),,即在區(qū)間上單調(diào)遞減；

③當(dāng)時(shí),,即在區(qū)間上單調(diào)遞增

(3)

【解析】

試題分析：解:(1)由可得.

令,則其對(duì)稱(chēng)軸為,故由題意可知是方程的兩個(gè)均大于的不相等的實(shí)數(shù)根,其充要條件為,解得. 5分

(2)由(1)可知,其中,故

①當(dāng)時(shí),,即在區(qū)間上單調(diào)遞增；

②當(dāng)時(shí),,即在區(qū)間上單調(diào)遞減；

③當(dāng)時(shí),,即在區(qū)間上單調(diào)遞增. 9分

(3)由(2)可知在區(qū)間上的最小值為.

又由于,因此.又由可得,從而.

設(shè),其中,

則.

由知:,,故,故在上單調(diào)遞增.

所以,.

所以,實(shí)數(shù)的取值范圍為. 14分

(事實(shí)上,當(dāng)時(shí),,此時(shí).即,“”是其充要條件.)

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用

點(diǎn)評(píng)：解決的關(guān)鍵是對(duì)于導(dǎo)數(shù)的符號(hào)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系的判定，以及運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的知識(shí)來(lái)求解最值，屬于中檔題。