Question

如圖，棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁是正四棱柱，側(cè)棱長為1，底面邊長是2，點(diǎn)E是棱BC的中點(diǎn)．
（1）求證：BD₁∥平面C₁DE；
（2）求二面角C₁-DE-C的平面角的大小；
（3）求三棱錐D₁-AEC₁的體積．

Answer 1

分析：（1）設(shè)CD₁，C₁D交于點(diǎn)O，連接OE，在三角形BCD₁中，得到OE∥BD₁，從而可證明BD₁∥平面C₁DE．
（2）過C作CF⊥DE于點(diǎn)F，連接C₁F，由三垂線定理得，∠C₁FC為二面角C₁-DE-C的平面角，在直角三角形C₁FC中求解即可．
（3）因?yàn)锳B∥C₁D₁，可將V _D1-AEC1 即V _A--D1EC1 轉(zhuǎn)化為V _B-D1EC1  計(jì)算．

解答：解：（1）證明：設(shè)CD₁，C₁D交于點(diǎn)O，連接OE，在三角形BCD₁中，O為CD₁ 中點(diǎn)，E為BC中點(diǎn)，∴OE∥BD₁，OE?面C₁DE，BD₁?面C₁DE，∴BD₁∥平面C₁DE．
（2）過C作CF⊥DE于點(diǎn)F，連接C₁F，由三垂線定理得，C₁F⊥DE，∴∠C₁FC為二面角C₁-DE-C的平面角，
   根據(jù)等面積法，DC×CE=DE×CF，∴CF=

2

5

 在直角三角形C₁FC中，tan∠C₁FC=

C1C

CF

=

5

2

．所以二面角C₁-DE-C的平面角的大小為arctan

5

2

．
（3）因?yàn)锳B∥C₁D₁，所以點(diǎn)A到平面C₁D₁E的距離等于B到平面C₁D₁E的距離．
∴V _D1-AEC1=V _A--D1EC1=V _B-D1EC1=V _D1-BEC1=

1

3

×

1

2

×2=

1

3

點(diǎn)評(píng)：本題考查空間直線和平面平行位置關(guān)系的判定，二面角、體積的計(jì)算．考查空間想象能力，轉(zhuǎn)化、計(jì)算能力．（3）問是求三棱錐體積，要注意等體積轉(zhuǎn)化的方法．